対称行列の性質

定義¹

任意の正方行列 $A$ が次の式を満たすとき、$A$ を対称行列と呼ぶ。

$$ A = A^{\mathsf{T}} $$

$A^{\mathsf{T}}$ は $A$ の転置である。

性質

(a) $A^{\mathsf{T}}$ は対称行列である。

(b) $A \pm B$ は対称行列である。

(c) $kA$ は対称行列である。

(d) $A$ が可逆であれば、$A^{-1}$ も対称行列である。

(e) $A$ が可逆であれば、$A^{\mathsf{T}}A$ と $AA^{\mathsf{T}}$ も可逆である。

(f) $AA^{\mathsf{T}}$ は $m \times m$ 対称行列であり、$A^{\mathsf{T}}A$ は $n \times n$ 対称行列である。

(g) $A$ の固有値はすべて実数である。

(h) $A$ の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。（= 異なる固有空間の固有ベクトルは直交する。）

証明

(d)

$A$ が可逆行列であるとする。すると $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$ であるから $A^{-1}$ も対称行列である。

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(e)

$A$ を $m \times n$ 行列とする。すると $AA^{\mathsf{T}}$ の大きさは $(m \times \cancel{n} ) \times (\cancel{n} \times m) = m \times m$ であり、転置行列の性質 により次が成り立つ。

$$ (AA^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} = (A^{\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} (A)^{\mathsf{T}} = AA^{\mathsf{T}} $$

したがって $AA^{\mathsf{T}}$ は対称行列である。$A^{\mathsf{T}}A$ の場合も証明は同じである。

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(f)

可逆行列の性質 により、$A$ が可逆ならば $A^{\mathsf{T}}$ も可逆であり、可逆行列の積は可逆であるから $AA^{\mathsf{T}}$、$A^{\mathsf{T}}A$ も可逆である。

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(g), (h)

エルミート行列 に関する証明の特殊化と見なせる。

• エルミート行列の固有値は実数である
• エルミート行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交する

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