レイリー比
定義
対称行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ に対して次の値を レイリー商Rayleigh quotient と呼ぶ。
$$ R(A, \mathbf{x}) = \dfrac{ \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathsf{T}} \mathbf{x}} $$
複素行列の場合、エルミート行列 $A$ に対してレイリー商を以下のように定義する。
$$ R(A, \mathbf{x}) = \dfrac{ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x}} $$
説明
$\lambda$ が $A$ の 固有値 であり、$\mathbf{x}$ が $\lambda$ に対応する 固有ベクトル であればレイリー商は固有値になる。
$$ R(A, \mathbf{x}) = \lambda $$
$\mathbf{x}_{k}$ が 優勢固有ベクトル に収束すれば、レイリー商は 優勢固有値 に収束する。この計算を 冪乗法 と呼ぶ。
性質
(a) レイリー商の最大値（最小値）が存在し、その値は最大固有値（最小固有値）である。 $$ \lambda_{\min} \le R(A, \mathbf{x}) \le \lambda_{\max} $$
(b) 任意の定数 $c$ に対して、 ▷eq10◯ である。