📂行列代数

主要固有値

定義¹

正方行列 $A$ の互いに異なる 固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ があるとしよう。このとき次を満たす $\lambda_{j}$ を $A$ の 優勢固有値^{dominant eigenvalue}、これに対応する 固有ベクトル を $A$ の 優勢固有ベクトル^{dominant eigenvector} と呼ぶ。

$$ | \lambda_{j} | \gt | \lambda_{i} | \quad \text{for all } i \ne j $$

説明

定義で $\lambda_{i}$ は 互いに異なる 固有値だとしたので、優勢固有値は存在するなら一意である。優勢固有値は行列によっては存在する場合もあれば、存在しない場合もある。例えば行列 $A = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & -6 & 4 \end{bmatrix}$ の固有値は $-4$、$-2$、$1$ だから $A$ の優勢固有値は $-4$ である。一方、行列 $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ の固有値は $-3$、$1$、$3$ なので $B$ の優勢固有値は存在しない。