📂偏微分方程式

ディリクレエネルギー

定義

開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ で定義された 微分可能な 関数 $u : \Omega \to \mathbb{R}$ が与えられたとする。以下のように定義される 汎関数 を ディリクレエネルギー^{Dirichlet energy} と呼ぶ。

$$ E [u] = \dfrac{1}{2}\int_{\Omega} \|\nabla u(x) \|^{2} \mathrm{d}x $$

ここで $\nabla u$ は $u$ の 勾配 である。 勾配

説明

勾配は多変数関数の導関数、すなわち変化量であるから、ディリクレエネルギーは与えられた領域 $\Omega$ において関数 $u$ がどれだけ変化するかを示す量とみなせる。被積分関数が $0$ 以上であるので、ディリクレエネルギーが $0$ であるということは $\| \nabla u \|^{2} = 0$ であることを意味し、ノルム の定義により $\nabla u = 0$、すなわち $u$ は変化のない定数関数であることを意味する。

性質

• すべての $u$ に対して、 $E [u] \ge 0$ である。