場 (物理学)
定義
物理学および数学では、関数 $f : X \to Y$について $X$がベクトル空間であるとき、$f$をフィールドfield, 場という。
説明
- 代数学でいう体fieldとは異なる。
事実上、上の定義はやや抽象的に記述されている面がある。フィールドとはある空間上の点、すなわちベクトルを別の値に対応させる関数であり、簡単に言えば多変数関数に相当する。ここで空間とは通常ユークリッド空間を意味し、場合によってはミンコフスキー空間や任意の多様体であることもある。関数の文脈で「フィールド」という語が単独で用いられることはなく（この場合は代数学での体を意味する）、ベクトルをスカラーに対応させるとスカラー場、ベクトルをベクトルに対応させるとベクトル場、ベクトルをテンソルに対応させるとテンソル場という。より直感的には、空間の一点をスカラー🔒(26/04/13)物理量に対応させる関数をスカラー場、空間の一点をベクトル物理量に対応させる関数をベクトル場という。
| 関数 | 対応関係 | 例 |
|---|---|---|
| スカラー場 | ベクトル $\mapsto$ スカラー | 点 $(x, y, z)$での温度 $T = T(x,y,z)$ |
| ベクトル場 | ベクトル $\mapsto$ ベクトル | 点 $(x, y, z)$での物体の速度 $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z) = \begin{bmatrix} v_{x}(x,y,z) \\ v_{y}(x,y,z) \\ v_{z}(x,y,z) \end{bmatrix}$ |
| テンソル場 | ベクトル $\mapsto$ テンソル | 点 $(x, y, z)$で物体が受ける応力 $\sigma = \sigma(x, y, z) = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$ |