📂表現論

随伴写像

定義¹

$\mathfrak{g}$をリー代数、その元を $X \in \mathfrak{g}$ とする。また線形写像 $\ad_{X} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ を次のように定義する。

$$ \ad_{X}(Y) = [X, Y] $$

このとき写像 $X \mapsto \ad_{X}$ を 随伴写像^{adjoint map} または 随伴表現^{adjoint representation} と呼ぶ。

説明

随伴写像とは線形写像 $\ad_{X}$ ではなく、$X \mapsto \ad_{X}$ を指すことに注意する。すなわち随伴写像の定義域と共域は次の通りである。

$$ \text{adjoint map : } \mathfrak{g} \to \operatorname{End}(\mathfrak{g}) $$

このとき $\operatorname{End}(\mathfrak{g})$ は 準自己同型写像空間 を意味する。$\operatorname{End}(\mathfrak{g})$ 自体もリー代数となり、そのブラケットは次のように 交換子 により定義される。

$$ [\cdot, \cdot] : \operatorname{End}(\mathfrak{g}) \times \operatorname{End}(\mathfrak{g}) \to \operatorname{End}(\mathfrak{g}) $$

$$ [\ad_{X}, \ad_{Y}] = \ad_{X} \circ \ad_{Y} - \ad_{Y} \circ \ad_{X} $$

$[X, [X, [X, Y]]]$ のような表記は簡単に $(\ad_{X})^{3}(Y)$ と表記できる。

(b) は $\ad : \mathfrak{g} \to \operatorname{End}(\mathfrak{g})$ が リー代数準同型写像 であることを意味する。特に (a) と (b) はそれぞれ $\ad_{X}$ と $\ad$ が $[\cdot, \cdot]$ に関してまるで分配法則を満たすかのように作用することを意味する。

性質

(a) $\ad_{X}([Y, Z]) = [\ad_{X}(Y), Z] + [Y, \ad_{X}(Z)]$

(b) $\ad_{[X, Y]} = [\ad_{X}, \ad_{Y}] = \ad_{X} \ad_{Y} - \ad_{Y} \ad_{X}$

証明

(a)

$[\cdot, \cdot]$がヤコビ恒等式を満たすので、

$$ \begin{align*} && [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0 \\ \implies && [X, [Y, Z]] - [[X, Y], Z] - [Y, [X, Z]] = 0 \\ \implies && \ad_{X} ([Y, Z]) - [\ad_{X}(Y), Z] - [Y, \ad_{X}(Z)] = 0 \\ \implies && \ad_{X}([Y, Z]) = [\ad_{X}(Y), Z] + [Y, \ad_{X}(Z)] \end{align*} $$

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(b)

$[\cdot, \cdot]$がヤコビ恒等式を満たすので、

$$ \begin{align*} \ad_{[X, Y]}(Z) &= [[X,Y], Z] \\ &= -[[Z,X], Y] - [[Y,Z], X] \\ &= [Y, [Z,X]] + [X, [Y,Z]] \\ &= [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] \\ &= [X, [Y,Z]] - [Y, [X,Z]] \\ &= \ad_{X}([Y, Z]) - \ad_{Y}([X, Z]) \\ &= \ad_{X}(\ad_{Y}(Z)) - \ad_{Y}(\ad_{X}(Z)) \\ &= \left( \ad_{X}\ad_{Y} - \ad_{Y}\ad_{X} \right)(Z) \\ &= [\ad_{X}, \ad_{Y}] (Z) \end{align*} $$

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