📂行列代数

冪一行列

定義¹

正方行列 $A$ に対して、$(A - I)^{k} = O$を満たす正の $k$ が存在するなら、$A$ を 冪一元^unipotent と呼ぶ。このとき $O$ は 零行列 である。

説明

つまり $A - I$ が 冪零行列 なら、$A$ は冪一元である。 行列対数 の定義が下記の通りであるため、$A$ が冪一元なら $\log A$ の値は存在する。

$$ \log A = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} \tag{1} $$

性質

(a) $A$ が冪一元なら、$\log A$ は冪零である。

　(a’) $A$ が冪一元なら、$e^{\log A} = A$ である。

(b) $X$ が冪零なら、$e^{X}$ は冪一元である。

　(b’) $X$ が冪零なら、$\log( e^{X} ) = X$ である。

証明

(a)

$A$ が冪一元なら、$(A - I)^{k} = O$ を満たす $k$ が存在する。$\log A$ の定義は ▷eq22◯ と同じなので、$\log A$ は冪零である。

■

(a')

$A$ が冪一元であると仮定する。すると $A - I$ が冪零なので、ある冪零行列 $N$ に対して $A = I + N$ である。$A(t) = I + tN$ とする。すると $\log A(t)$ は冪零であり、$t$ に対する有限次数の多項式である。つまりある ▷eq31◯ が存在して、

$$ \log A(t) = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(tN)^{m}}{m} = \sum\limits_{m=1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{t^{m}N^{m}}{m} $$

また $e^{\log A(t)}$ も同様の理由で $t$ に対する有限次数の多項式となる。

$$ e^{\log A(t)} = \sum\limits_{s=0}^{\infty} \dfrac{\left( \sum\limits_{m=1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{t^{m}N^{m}}{m} \right)^{s}}{s!} = \sum\limits_{s=0}^{S} \dfrac{\left( \sum\limits_{m=1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{t^{m}N^{m}}{m} \right)^{s}}{s!} $$

これを $g(t) = e ^{\log A(t)}$ とする。

行列対数の性質:

$\| A - I \| \lt 1$ なら、$e^{\log A} = A$

一方、十分小さい $t$ に対して $\| A(t) - I \| = \| tN \| \lt 1$ であるから、十分小さい無限に多くの $t$ に対して次が成り立つ。

$$ g(t) = e^{\log A(t)} = A(t) $$

したがって二つの多項式 $g(t)$ と $A(t)$ は等しい。$t = 1$ を代入すると次を得る。

$$ e^{\log A} = A $$

■

(b)

$X$ が冪零なら、$X^{k} = O$ を満たす $k$ が存在する。$e^{X}$ の定義は 下記の通り なので、$X$ が冪零なら $e^{X}$ は冪一元である。

$$ e^{X} = I + \sum\limits_{m = 1}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} $$

■

(b')

$X(t) = Xt$、$h(t) = \log e^{X(t)}$ と置き、(a’) と同じ戦略で証明すればよい。

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