📂行列代数

行列の対数

導入¹

行列の指数関数は以下のようにテイラー級数の形で定義される。行列 $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$について、

$$ e^{X} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} $$

同様に，行列の対数関数も級数の形で定義する。対数関数のテイラー級数は以下の通りである。

$$ \log z = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1}\dfrac{(z-1)^{m}}{m}, \qquad |z-1| \lt 1 \tag{1} $$

定義

$n \times n$ 行列 $A$ に対して，以下の級数が収束すればこれを $\log A$ と定義する。

$$ \log A = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} \tag{2} $$

説明

$(1)$ の級数が $| z - 1 | \lt 1$ のとき収束するように，$\log A$ も $\| A - I \| \lt 1$ のとき収束する。ただし，これは十分条件であるので $\| A - I \| \lt 1$ のときのみ収束するという意味ではない。例えば $\| A - I \| \gt 1$ であっても $A - I$ が 冪零行列 であれば収束する。

行列の指数と同様に，$A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ であれば $\log A$ 自体も $M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に含まれる行列である。

(c) の結果に注意すべきで，$\log (e^{X})$ が収束するとしてもその値が $X$ と等しいとは限らない。反例として $X = 2\pi i I$ とすると，$e^{X} = e^{2\pi i} I = I$ である。したがって $e^{X} - I = O$ であり $\log (e^{X}) = O$ である。つまりこの場合は $X \ne \log (e^{X})$ である。

(d) から次を得る。

$$ \log(I + B) = B + O(\| B^{2} \|) $$

ここで $O$ は ビッグオー記法 である。

性質

(a) $(2)$ のような $\log$ は集合 $D = \left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : \| A - I \| \lt 1 \right\}$ 上で定義され，連続な関数である。

(b) $A \in D$ に対して， $$ e^{\log A} = A $$

　(b’) $A$ が 冪等元 であれば， $e^{\log A} = A$ である。

(c) $\| X \| \lt \log 2$ である $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して， $$ \| e^{X} - I \| \lt 1 \text{ and } \log e^{X} = X $$

　(c’) $X$ が 冪零 であれば， $\log( e^{X} ) = X$ である。

(d) $\| B \| \lt 1/2$ が成り立つすべての $B \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して，次を満たす定数 $c$ が存在する。 $$ \| \log (I + B) - B \| \le c \| B \|^{2} $$

証明

(a)

行列の収束の性質:

$$ \| A_{n} - A \| \to 0 \text{ as } n \to \infty \iff \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A $$

級数を和と極限に分解すると，

$$ \log A = \lim\limits_{M \to \infty} \sum_{m = 1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} $$

このとき 行列ノルムの性質 により $\| (A - I)^{m} \| \le \| A - I \|^{m}$ が成り立つ。したがって次を得る。

$$ \sum\limits_{m = 1}^{M} \left\| (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} \right\| \le \sum\limits_{m = 1}^{M} \dfrac{\| A - I \|^{m}}{m} $$

ここで $\| A - I \| \lt 1$ であれば 比較判定法 により級数が 絶対収束 し，収束する。

また，上の不等式と ワイエルシュトラスのM判定法 により $\log A$ は 連続 である。

■

(b)

場合1: $A$ が対角化可能

$A$ が 対角化可能であるとする。

$$ A = C D C^{-1} $$

すると $(A - I)^{m}$ は次のようになる。

$$ \begin{align*} (A - I)^{m} &= (CDC^{-1} - CIC^{-1})^{m} \\ &= \left[ C(D - I)C^{-1} \right]^{m} \\ &= C(D - I)^{m}C^{-1} \\ &= C\begin{bmatrix} (d_{1} - 1)^{m} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & (d_{n} - 1)^{m} \end{bmatrix}C^{-1} \end{align*} $$

$\| A - I \| \lt 1$ なので，各々の $i$ に対して $|d_{i} - 1| \lt 1$ でなければならない。したがって次を得る。

$$ \begin{align*} \log A &= \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} \\ &= \sum\limits_{m=1}^{\infty} \left( C\begin{bmatrix} (-1)^{m+1} \dfrac{(d_{1} - 1)^{m}}{m} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & (-1)^{m+1} \dfrac{(d_{n} - 1)^{m}}{m} \end{bmatrix}C^{-1} \right) \\ &= C \left( \sum\limits_{m=1}^{\infty} \begin{bmatrix} (-1)^{m+1} \dfrac{(d_{1} - 1)^{m}}{m} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & (-1)^{m+1} \dfrac{(d_{n} - 1)^{m}}{m} \end{bmatrix} \right)C^{-1} \\ &= C \begin{bmatrix} \log d_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \log d_{n} \end{bmatrix}C^{-1} \end{align*} $$

行列指数の性質:

$$ e^{CXC^{-1}} = Ce^{X}C^{-1} $$

対角行列 $D = [d_{ii}]$ に対して， $$ e^{D} = \begin{bmatrix} e^{d_{11}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & e^{d_{nn}} \end{bmatrix} $$

すると行列指数の性質により以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} e^{\log A} &= C \begin{bmatrix} e^{\log d_{1}} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{\log d_{n}} \end{bmatrix}C^{-1} \\ &= C \begin{bmatrix} d_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & d_{n} \end{bmatrix}C^{-1} \\ &= CDC^{-1} = A \end{align*} $$

場合2: $A$ が対角化不可能

$A$ が対角化不可能であるとする。$A$ に収束する対角化可能な行列 $A_{n}$ たちの列が存在する。

$$ \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A, \qquad A_{n} \text{ is diagonalizable} $$

行列の指数と対数は連続関数なので次を得る。

$$ e^{\log A} = e^{ \log (\lim\limits_{n \to \infty} A_{n})} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{\log A_{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A $$

■

(b')

証明

■

(c)

$\| e^{X} - I \| \le e^{\| X \|} - 1$であるので,

$$ \| e^{X} - I \| \le e^{\| X \|} - 1 \le e^{\log 2} - 1 \le 1 $$

したがって $\log e^{X}$ が収束する。$\log e^{X} = X$ であることを示すのは $e^{\log A} = A$ を示す方法と同様に可能である。

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(c')

証明

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(d)

$$ \begin{align*} \log (I + B) - B &= \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{B^{m}}{m} - B \\ &= \sum\limits_{m=2}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{B^{m}}{m} \\ &= B^{2} \sum\limits_{m=2}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{B^{m-2}}{m} \end{align*} $$

$\| B \| \le 1/2$ なので，

$$ \| \log (I + B) - B \| \le \| B \|^{2} \sum\limits_{m=2}^{\infty} \dfrac{(1/2)^{m-2}}{m} $$

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