📂表現論

リー代数同型写像

定義¹

$\mathfrak{g}$と $\mathfrak{h}$をリー代数とする。線形写像 $\phi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$が次を満たすなら、リー代数準同型写像^{Lie algebra homomorphism}と言う。

$$ \phi([X, Y]_{\mathfrak{g}}) = [\phi(X), \phi(Y)]_{\mathfrak{h}}, \qquad \forall X, Y \in \mathfrak{g} $$

$\phi$が全単射なら、リー代数同型写像^{Lie algebra isomorphism}と言う。$\mathfrak{h} = \mathfrak{g}$なら、$\phi$をリー代数自己同型写像^{Lie algebra automorphism}と言う。

説明

リー代数には二項演算 $[\cdot, \cdot]$が与えられているので、自然にこの演算を保存する写像を考えることができる。

定理

$\mathfrak{g}$と $\mathfrak{h}$をリー代数とする。$\phi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$がリー代数準同型写像なら、$\phi$の核は $\mathfrak{g}$のイデアルである。

証明

イデアル

$\mathfrak{g}$の部分代数 $\mathfrak{h}$が次を満たすとき、$\mathfrak{g}$のイデアルという。

$$ [X, H] \in \mathfrak{h} \quad \forall X \in \mathfrak{g}, \forall H \in \mathfrak{h} $$

$\phi$の核は以下の通りである。

$$ \ker \phi = \left\{ X \in \mathfrak{g} : \phi(X) = 0 \right \} $$

$H \in \ker \phi$について、$\phi([X, H]) = 0$であることを示せば証明終了。

$$ \phi([X, H]) = [\phi(X), \phi(H)] = [\phi(X), 0] = 0 $$

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