📂行列代数

固有値の代数的重複度は一般化固有空間の次元に等しい。

定理¹

行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ の互いに異なる固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$ がそれぞれ 代数的重複度 $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}$ を持つとする。さらに $\beta_{i}$ を 一般化固有空間 $W_{\lambda_{i}}$ の順序基底(順序基底)とする。すると次が成り立つ。

(a) $i \ne j$ に対して、 $\beta_{i} \cap \beta_{j} = \varnothing$

(b) 任意の $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$ に対して、次を満たす $\mathbf{v}_{i} \in W_{\lambda_{i}}$ ($1 \le i \le k$) が存在する。

$$ \mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k} $$

つまり $\mathbb{C}^{n}$ は一般化固有空間たちの 直和 として表される。

$$ \mathbb{C}^{n} = W_{\lambda_{1}} \oplus W_{\lambda_{2}} \oplus \cdots \oplus W_{\lambda_{k}} $$

(c) $\beta = \beta_{1} \cup \beta_{2} \cup \cdots \cup \beta_{k}$ は $\mathbb{C}^{n}$ の順序基底となる。

(d) $\dim (W_{\lambda_{i}}) = m_{i}$

証明

(a)

$i \ne j$ について、$\mathbf{v} \in \beta_{i} \cap \beta_{j} \subset W_{\lambda_{i}} \cap W_{\lambda_{j}}$ と仮定しよう。すなわち $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ である。$W_{\lambda_{j}}$ は $(A - \lambda_{i}I)$–不変であり、写像 $(A - \lambda_{i} I)|_{W_{\lambda_{j}}}$ は 核が $\left\{ \mathbf{0} \right\}$ であるため、任意の $p$ に対して $(A - \lambda_{i} I)^{p} \mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ である。これは $\mathbf{v} \in W_{\lambda_{i}}$ という事実と矛盾し、仮定が誤っていることがわかる。ゆえに

$$ \beta_{i} \cap \beta_{j} = \varnothing $$

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(b)

数学的帰納法 によって証明する。

$k = 1$ のとき成立する

$k=1$ とする。すると $A$ の 特性多項式 は $(x - \lambda_{1})^{m_{1}}$ である。すると ケイリー・ハミルトンの定理 により $(A - \lambda_{1} I)^{m_{1}} = O$ となる。したがって $V = W_{\lambda_{1}}$ である。

$k-1$ のとき成立すると仮定すると、$k$ のときも成立する

$k-1$ のとき成立すると仮定する。さらに $A$ が $k$ 個の互いに異なる固有値 $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$、$\dots$、$\lambda_{k}$ を持ち、$\lambda_{k}$ の代数的重複度が $m$ であるとする。$K = R(A - \lambda_{k}I)^{m}$ とする。$R$ は 像 を意味する。$A$ と $(A - \lambda_{k}I)$ が可換なので、$K$ は $A$–不変 である。ここで $(A - \lambda_{k}I)^{m}$ の $W_{\lambda_{i}}$ $(i \lt k)$ 上への縮小写像を考える。これは 一対一で、有限次元の線形変換なので 全射でもある。 したがって $i \lt k$ に対して、$W_{\lambda_{i}} \subset K$ であり $\lambda_{i}$ が $A|_{K}$ の固有値になることがわかる。$\mathbf{v}$ が $\lambda_{i}$ に対応する $A$ の固有ベクトルであるとすると、

$$ A|_{K} \mathbf{v} = A \mathbf{v} = \lambda_{i} \mathbf{v} $$

しかし $\lambda_{k}$ は $A|_{K}$ の固有値ではない。$\mathbf{v} \in K$ に対して $A \mathbf{v} = \lambda_{k} \mathbf{v}$ とする。すると $\mathbf{v} = (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{u}$ であり、次が成り立つ。

$$ (A - \lambda_{k}I) \mathbf{v} = (A - \lambda_{k}I) (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{u} = (A - \lambda_{k}I)^{m+1} \mathbf{u} = \mathbf{0} $$

したがって $\mathbf{u} \in K$ であり、$\mathbf{v}=$$(A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{u} = \mathbf{0}$ が成り立つ。ゆえに $\lambda_{k}$ は $A|_{K}$ の固有値ではない。$A|_{K}$ の固有値は $A$ の固有値でもあるため、$A|_{K}$ は互いに異なる $k-1$ 個の固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k-1}$ を持つ。

ここで $\mathbf{x} \in V$ とする。すると $(A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{x} \in K$ であり、$k-1$ のとき成立するという仮定により、$A|_{K}$ の固有値 $\lambda_{i}$ たちに対する一般化固有空間 $W_{\lambda_{i}}^{\prime}$ の元 $\mathbf{w}_{i}$ に対して次が成り立つ。

$$ (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{x} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} + \cdots + \mathbf{w}_{k-1} $$

$(A - \lambda_{k}I)^{m}$ は $W_{\lambda_{i}} \to W_{\lambda_{i}}$ である全射写像であり $W_{\lambda_{i}}^{\prime}$ であるから、ある $\mathbf{v}_{i} \in W_{\lambda_{i}}$ に対して $\mathbf{w}_{i} = (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{i}$ $(i \lt k)$ が成り立つ。したがって次を得る。

$$ (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{x} = (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{1} + (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{2} + \cdots + (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{k-1} $$

$$ (A - \lambda_{k}I)^{m} \left( \mathbf{x} - \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k-1} \right) = \mathbf{0} $$

ゆえに $\mathbf{x} - \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k-1} \in W_{\lambda_{k}}$ であり、$\mathbf{v}_{k} = \mathbf{x} - \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k-1}$ とすれば、次が成り立つ。

$$ \mathbf{x} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k} $$

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(c), (d)

$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ とする。(b) により $\mathbf{x} = \mathbf{v}_{1} + \cdots \mathbf{v}_{k}$ $(\mathbf{v}_{i} \in W_{\lambda_{i}})$ であり、$\beta_{i}$ が $W_{\lambda_{i}}$ の順序基底であるので、$\mathbf{v}_{i}$ は $\beta_{i}$ の元たちの線形結合として表せる。したがって $\beta$ は $\mathbb{C}^{n}$ を 生成 する。$q = | \beta |$ とすれば、$n \le q$ である。$\dim (W_{\lambda_{i}}) \le m_{i}$ であるので、次の不等式が成り立つ。

$$ q = \sum_{i}^{k} \dim (W_{\lambda _{i}}) \le \sum_{i}^{k} m_{i} = n $$

ところが先に $n \le q$ であったので、$n = q$ である。$|\beta| = n$ であり、$\beta$ が $\mathbb{C}^{n}$ を生成するので、$\beta$ は $\mathbb{C}^{n}$ の順序基底である。

また上の結果から $\sum\limits_{i}^{k} \dim (W_{\lambda_{i}}) = \sum\limits_{i}^{k} m_{i}$ である。したがって、$\dim (W_{\lambda_{i}}) \le m_{i}$ なので、$\dim (W_{\lambda_{i}}) = m_{i}$ である。

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