📂行列代数

広義固有ベクトル

導入¹

行列の固有値問題とは、与えられた行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して次を満たすベクトル $\mathbf{0} \ne \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$ と定数 $\lambda \in \mathbb{C}$ を求めることである。

$$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \iff (A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0} $$

このとき $\lambda$ を $A$ の 固有値、 $\mathbf{v}$ を $A$ の 固有ベクトルという。 $A$ が $n$ 個の 線形独立 な固有ベクトルを持つならば 対角化 が可能で、より良い形に分解できる。しかし任意の行列が常に $n$ 個の線形独立な固有ベクトルを持つわけではない。こうした場合は適当な代替策を探して別の形に分解することを試みる。$A$ が正方行列でないときの 特異値分解 はその例である。ここでは $A$ が正方行列だが $n$ 個より少ない線形独立な固有ベクトルを持つ場合を扱う。

上の式からわかるように、固有ベクトルとは カーネル $\ker (A - \lambda I)$ の元でもある。 $A$ が対角化不可能だということは $\ker (A - \lambda I)$ の 次元 が十分大きくない（=$n$ より小さい）ということである。だがカーネルは同じ変換を繰り返すと 単調に大きくなる。

$$ \ker(A - \lambda I) \subset \ker(A - \lambda I)^{2} \subset \cdots \subset \ker(A - \lambda I)^{k} \subset \cdots $$

すなわち任意の自然数 $k$ に対して下の式を満たすベクトル $\mathbf{v}$ たちの集合を考えれば、これは従来の固有ベクトルをすべて含む集合であり自然な一般化となる。

$$ (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$

定義

行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ が与えられたとする。任意の定数 $\lambda \in \mathbb{C}$ と自然数 $k \in \mathbb{N}$ に対して下の式を満たすベクトル $\mathbf{v}$ を $A$ の 一般化固有ベクトル^{generalized eigenvector} と呼ぶ。

$$ (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} \tag{1} $$

説明

ここで $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ であるベクトルについて意味があるので、 $(A - \lambda I)$ は 可逆行列 ではあってはならない。したがって $(1)$ における $\lambda$ は通常の^ordinary 固有値と同じである。つまり $(1)$ を満たす $\lambda$ には一般化固有値という名称は付かない。しかし定義から推測できるように、通常の固有ベクトルではない一般化固有ベクトルは存在する。

例として $2 \times 2$ 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられたとする。 特性方程式 が $(\lambda - 1)^{2} = 0$ であるため、 $A$ の固有値は 代数的重複度 が $2$ の固有値 $\lambda = 1$ が一つある。これに対応する（線形独立な）固有ベクトルは下のように一つであるため $A$ は固有値による対角化が不可能である。 $\mathbf{x}_{1} = \begin{bmatrix} x_{1} & y_{1} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$ とする。

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies y_{1} = 0 \implies \mathbf{x}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$

さて $k = 2$ の場合を見てみる。下のように $\mathbf{x}_{1}$ と線形独立な $\mathbf{x}_{2}$ を見つけることができる。 $\mathbf{x}_{2} = \begin{bmatrix} x_{2} & y_{2} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$ とする。

$$ (A - \lambda I)^{2} \mathbf{x} = \mathbf{0} \implies \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

括弧内の値が固有ベクトル $\mathbf{x}_{1}$ なので次を得る。

$$ \begin{align*} && \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \implies&& \begin{bmatrix} y_{2} \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \implies&& \mathbf{x}_{2} &= \begin{bmatrix} c \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

ここで $c$ は任意の定数である。固有ベクトル $\mathbf{x}_{1}$ と一般化固有ベクトル $\mathbf{x}_{2}$ を見つけるための式を改めて見ると、結局 $\mathbf{x}_{2}$ は $(A - \lambda I)$ を作用させて $\mathbf{x}_{1}$ になるベクトルであることがわかる。

$$ \begin{align*} && (A - \lambda I) \mathbf{x}_{1} &= \mathbf{0} \\ && (A - \lambda I)^{2} \mathbf{x}_{2} = (A - \lambda I) \left[ (A - \lambda I) \mathbf{x}_{2} \right] &= \mathbf{0} \\ \implies && (A - \lambda I) \mathbf{x}_{2} &= \mathbf{x}_{1} \end{align*} $$

したがって固有値 $\lambda = 1$ に対応する一般化固有ベクトルは（通常の固有ベクトルを含めて）合計 $2$ 個である。この数が $\lambda = 1$ の代数的重複度と等しいのは偶然ではない。固有値の 幾何的重複度 は常に 代数的重複度より小さいか等しい。幾何的重複度は固有値に対応する線形独立な通常の固有ベクトルの個数と等しく、代数的重複度は固有値に対応する線形独立な一般化固有ベクトルの個数と等しい。

一般化固有空間

固有値 $\lambda$ に対する 固有空間 $E_{\lambda}$ は $\lambda$ に対応する固有ベクトルが 生成 する空間を意味する。これの拡張として、一般化固有空間^{generalized eigenspace} $W_{\lambda}$ を $\lambda$ に対応する一般化固有ベクトルが生成する空間として次のように定義する。行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ とその固有値 $\lambda$ に対して、

$$ W_{\lambda} = \left\{ \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n} : (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{ for some } k \in \mathbb{N} \right\} $$