核と像の単調性
定理
$T : V \to V$を線形変換とする。核と像について次が成り立つ。
$$ \ker T \subset \ker T^{2} \subset \ker T^{3} \subset \cdots $$
$$ \im T \supset \im T^{2} \supset \im T^{3} \supset \cdots $$
説明
一般には核は上記のように単調増加するが、$T$が$T^{k} = 0$を満たす冪零変換であれば、次のようなフラグが存在する。
$$ \left\{ \mathbf{0} \right\} \lneq \ker T \lneq \ker T^{2} \lneq \cdots \lneq \ker T^{k-1} \lneq \ker T^{k} = V $$
$$ \dim (\ker T) \lt \dim (\ker T^{2}) \lt \cdots \lt \dim (\ker T^{k-1}) \lt \dim (\ker T^{k}) = \dim (V) $$
以下の証明は$T$が行列であってもそのまま成り立つ。
証明
$\mathbf{x} \in \ker T$とする。すると次が成り立つ。
$$ T(T(\mathbf{x})) = T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} $$
したがって、$\mathbf{x} \in \ker T \implies \mathbf{x} \in \ker T^{2}$である。$\mathbf{y} \in \im T^{2}$とする。すると次を満たす$\mathbf{x}_{1}$が存在する。
$$ T^{2} (\mathbf{x}_{1}) = \mathbf{y} $$
ところが次が成り立つので、$\mathbf{y} \in \im T^{2} \implies \mathbf{y} \in \im T$である。
$$ \mathbf{y} = T^{2}(\mathbf{x}_{1}) = T(T\mathbf{x}_{1}) = T(\mathbf{x}_{2}) $$
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冪零の場合
$T$は$T^{s} = 0$を満たす冪零変換で、$k \lt s$とする。線形写像$\phi$を次のように定義する。
$$ \begin{align*} \phi : \ker T^{k+1} &\to \im T^{k} \cap \ker T \\ \mathbf{v} &\mapsto T^{k}\mathbf{v} \end{align*} $$
すると$\phi$はよく定義されていることと、全射surjectiveである。
よく定義されている
$\mathbf{v} \in \ker T^{k+1}$とする。 $$ \mathbf{v} \in \ker T^{k+1} \implies T (T^{k} \mathbf{v}) = \mathbf{0} $$ ゆえに$T^{k} \mathbf{v} \in \ker T$であり、$T^{k} \mathbf{v} \in \im T^{k}$である。 $$ T^{k}\mathbf{v} \in \im T^{k} \cap \ker T $$
全射
$\mathbf{y} \in \im T^{k} \cap \ker T$とする。すると$\mathbf{y} \in \im T^{k}$なので$\mathbf{y} = T^{k}\mathbf{v}$である$\mathbf{v}$が存在する。$\mathbf{y} \in \ker T$なので、$T(T^{k}\mathbf{v}) = \mathbf{0}$であり$\mathbf{v} \in \ker T^{k+1}$である。
一方、$\phi$の核は$\phi(\mathbf{v}) = T^{k}\mathbf{v} = \mathbf{0}$を満たす$\mathbf{v}$たちの集合なので$\ker \phi = \ker T^{k}$である。いま第一同型定理により次が成り立つ。
$$ \ker T^{k+1} / \ker \phi \cong \phi(\ker T^{k+1}) \implies \ker T^{k+1} / \ker T^{k} \cong \im T^{k} \cap \ker T \tag{1} $$
商空間の次元は次の通りである。
$$ \dim (\ker T^{k+1} / \ker T^{k}) = \dim(\ker T^{k+1}) - \dim(\ker T^{k}) = \dim (\im T^{k} \cap \ker T) \tag{2} $$
一方、$s$は$T^{s} = 0$となる最小の整数であるから、$T^{s-1}\mathbf{w} \ne \mathbf{0}$である$\mathbf{w}$が存在する。$\mathbf{u} = T^{s-k-1}\mathbf{w}$とする。すると次が成り立つ。
$$ T^{k}\mathbf{u} = T^{k}T^{s-k-1}\mathbf{w} = T^{s-1}\mathbf{w} \ne \mathbf{0} $$
$$ T(T^{k}\mathbf{u}) = T^{s}\mathbf{w} = \mathbf{0} $$
したがって$(1)$の右辺は$\im T^{k} \cap \ker T \ne \left\{ \mathbf{0} \right\}$であり、$(2)$の右辺は$0$より大きいことを意味する。よって次の結論を得る。
$$ \dim (\ker T^{k+1}) \gt \dim (\ker T^{k}) $$
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