行列の三角化
定義
行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$が 上三角行列と類似であれば、三角化可能triangularizableとする。
$$ A = P^{-1} U P $$
ここで $U$ は 一般性を失わずに 上三角行列とする。
定理
すべての 正方行列 は三角化可能である。すなわち上三角行列と類似である。
説明
特に 冪零行列 は 対角成分が $0$ の上三角行列と類似である。
証明
$A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ とする。 すべての行列は少なくとも一つの固有値を持つので、 $\lambda_{1}$ を $A$ の固有値、 $v_{1}$ をそれに対応する固有ベクトルとする。さらに グラム＝シュミット直交化 により 正規直交基底 $\left\{ v_{1}, v_{1,2}, \cdots, v_{1,n} \right\}$ を得ることができる。これを列ベクトルとして持つ行列を $Q_{1}$ とする。
$$ Q_{1} = \begin{bmatrix} \overset{|}{\underset{|}{v_{1}}} & \overset{|}{\underset{|}{v_{1,2}}} & \cdots & \overset{|}{\underset{|}{v_{1,n}}} \end{bmatrix} $$
すると $Q_{1}$ は ユニタリ行列 であり、ある $\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{n}$ と $B \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して次が成り立つ。
$$ Q_{1}^{\ast} A Q_{1} = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & \mathbf{a}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & B \end{bmatrix} $$
同様の論理で、 $B$ の固有値 $\lambda_{2}$ が存在し、それに対応する固有ベクトルを含む正規直交基底から作られるユニタリ行列 $U$ を得ることができる。すると次を得る。
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U^{\ast} \end{bmatrix} Q_{1}^{\ast} A Q_{1} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{a}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & \mathbf{a}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U^{\ast} B U \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & a_{12} & \mathbf{b}^{\mathsf{T}} \\ 0 & \lambda_{2} & \mathbf{c}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & C \end{bmatrix} \end{align*} $$
このような方法で作られるユニタリ行列 $\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & U_{i} \end{bmatrix}$ たちを $Q_{i}$ とすると、 $Q = Q_{1} \cdots Q_{n}$ もユニタリ行列である。そして次が成り立ち、 $A$ は上三角行列と類似である。
$$ Q^{\ast}AQ = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} $$
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