固有値の性質

定義

$n \times n$ 行列 $A$と $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$に対して、次の式を満たす定数 $\lambda$を $A$の固有値とする。

$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$

またこのとき $\mathbf{x}$を $\lambda$に対応する固有ベクトルとする。

性質

(a) 任意の行列は少なくとも1つ以上の固有値をもつ。

(b) 正の整数 $k$に対して、$\lambda$が行列 $A$の固有値であり $\mathbf{x}$が $\lambda$に対応する固有ベクトルであれば、$\lambda ^{k}$は $A^{k}$の固有値であり $\mathbf{x}$は $\lambda ^{k}$に対応する固有ベクトルである。

(c) 実行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$に対して、$\lambda$が $A$の固有値であれば、$A^{\mathsf{T}}$の固有値でもある。ここで $A^{\mathsf{T}}$は $A$の転置である。

(c’) 複素行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$に対して、$\lambda$が $A$の固有値であれば、$\overline{\lambda}$は $A^{\ast}$の固有値である。ここで $\overline{\lambda}$は $\lambda$の複素共役、$A^{\ast}$は $A$の共役転置である。

(c’’) $\lambda_{i}$が $A$の固有値であれば、$A^{\mathsf{T}}A$の固有値は $\lambda_{i}^{2}$であり $A^{\ast}A$の固有値は $|\lambda_{i}|^{2}$である。

説明

(c) において $A$と $A^{\mathsf{T}}$の固有値の集合は等しいが、一般には各固有値に対応する固有ベクトルまで等しいとは限らない。

証明

(a)

$n \times n$ 行列に対する特性方程式は $n$次の多項式で表され、これは少なくとも1つの解を持つため、任意の行列は1つ以上の固有値をもつ。

(b)

自明である。

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(c)

$A$の固有値とは、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$の解をいう。ところが行列式の値は転置に依存しないので（$\det A = \det A^{\mathsf{T}}$）次が成り立つ。

$$ \det(A - \lambda I) = \det(A^{\mathsf{T}} - \lambda I^{\mathsf{T}}) = \det (A^{\mathsf{T}} - \lambda I) $$

したがって $A$と $A^{\mathsf{T}}$の固有値は等しい。さらに同じ論理で (c’) も成り立つ。

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