正定値行列の性質
性質
定値行列と関連して次が成り立つ。
(a) 行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して、 $A^{\ast}A$ は半正定値である。
(b) 正定値行列と負定値行列は常に可逆行列である。
説明
(a) で $A$ が実数行列のときは $A^{\mathsf{T}}A$ とすればよい。
証明
(a)
$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ に対して次が成り立つ。
$$ \mathbf{x}^{\ast} A^{\ast} A \mathbf{x} = (\mathbf{x} A)^{\ast} A \mathbf{x} = (A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x}) $$
内積の性質により上の値は $0$ 以上である。
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