📂行列代数

主軸定理

定義¹

$n$次元ベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$に対して、次を満たす可逆行列 $P$あるいは以下の式そのものを変数変換^{change of variable}という。

$$ \mathbf{x} = P \mathbf{y} $$

$P$が直交行列であれば、直交変数変換^{orthogonal change of variable}という。

説明

変数変換は座標変換^{change of coordinate}と呼ばれることもある。二次形式 $\mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x}$を扱う過程で式をより単純にするなどに用いられる。

定理

主軸定理 (principal axes theorem):

実行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$が対称であれば、二次形式 $\mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x}$を交差項のない $\mathbf{y}^{\mathsf{T}} D \mathbf{y}$に変換できる直交変数変換 $P$が存在する。このような $P$は $A$を直交対角化し、二次形式の値は次のようになる。

$$ \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x} = \mathbf{y}^{\mathsf{T}} D \mathbf{y} = \lambda_{1}y_{1}^{2} + \cdots + \lambda_{n}y_{n}^{2} $$

ここで $\lambda_{i}$は $D$の $i$番目の対角成分であり、$P$の $i$番目の列ベクトルに対応する $A$の固有値である。

証明

$A$が対称行列であれば、直交対角化可能であることと同値である。すなわち対角行列 $D$に対して、次を満たす直交行列 $P$が存在する。

$$ A = P^{\mathsf{T}} D P $$

このような $P$を直交変数変換 $\mathbf{x} = P \mathbf{y}$として選ぶ。すると次を得る。

$$ \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x} = (P \mathbf{y})^{\mathsf{T}} A (P \mathbf{y}) = \mathbf{y}^{\mathsf{T}} (P^{\mathsf{T}} A P) \mathbf{y} = \mathbf{y}^{\mathsf{T}} D \mathbf{y} $$

この値は以下のようになる。

$$ \mathbf{y}^{\mathsf{T}} D \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} = \lambda_{1}y_{1}^{2} + \cdots + \lambda_{n}y_{n}^{2} $$

またこれらの $\lambda_{i}$は$P$の $i$番目の列ベクトルに対応する $A$の固有値である。

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