📂行列代数

行列指数の性質

定義¹

行列の指数関数 $\exp : M_{n \times n}(\mathbb{C}) \to M_{n \times n}(\mathbb{C})$を次のように定義し、これを行列指数(関数)^{matrix exponential}という。

$$ \exp (X) = e^{X} := \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} \tag{1} $$

このとき上の極限は行列の極限を意味する。

説明

行列指数は指数関数を行列に対して一般化したもので、実数上で定義される指数関数の性質に従う。$X^{0}$は単位行列 $I$で定義する。$e^{X}$自身も$n \times n$行列であることに注意する。

性質

$X, Y \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$とする。すると次の行列指数関数は次の性質を持つ。

(a) すべての $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$について、級数 $(1)$は収束し $e^{X}$は連続関数である。

(b) $e^{O} = I$（$O$は零行列）

(c) $(e^{X})^{\ast} = e^{X^{\ast}}$

(d) $e^{X}$は可逆行列であり $(e^{X})^{-1} = e^{-X}$である。

(e) $e^{(\alpha + \beta) X} = e^{\alpha X} e^{\beta X}$

(f) もし $XY = YX$なら、 $e^{X+Y} = e^{X} e^{Y} = e^{Y} e^{X}$である。

(g) もし $C \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$なら、 $e^{C X C^{-1}} = C e^{X} C^{-1}$である。ここで $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$は一般線形群である。

(h) 対角行列 $D = [d_{ii}]$について、 $e^{D} = \begin{bmatrix} e^{d_{11}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & e^{d_{nn}} \end{bmatrix}$である。

証明

(a)

行列ノルムの性質 $\| AB \| \le \| A \| \| B \|$と三角不等式 $\| A + B \| \le \| A \| + \| B \|$により次を得る。

$$ \| X^{m} \| \le \| X \|^{m} $$

$$ \implies \left\| \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} \right\| \le \sum\limits_{m=0}^{\infty} \left\| \dfrac{X^{m}}{m!} \right\| \le \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{\| X \|^{m}}{m!} \lt \infty $$

$\| X \|$はスカラーなので、右辺の値は実数上で定義された指数関数の値 $e^{\| X \|}$と等しく、有界である。したがって $e^{X}$は絶対収束するので、収束する。

また、上の不等式とワイエルシュトラスM判定法により $e^{X}$は一様収束し連続である。

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(b)

自明である。

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(c)

行列指数の定義と行列の極限の性質により次が成り立つ。

$$ (e^{X})^{\ast} = \left( \lim\limits_{M \to \infty} \sum_{m = 0}^{M} \dfrac{X^{m}}{m!}\right)^{\ast} = \lim\limits_{M \to \infty} \left( \sum_{m = 0}^{M} \dfrac{X^{m}}{m!}\right)^{\ast} = \lim\limits_{M \to \infty} \sum_{m = 0}^{M} \dfrac{(X^{\ast})^{m}}{m!} = e^{X^{\ast}} $$

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(d)

方法1

収束する二つの級数の積は以下のように表される。

$$ \begin{align*} e^{X} e^{-X} &= \left( \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} \right) \left( \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{m}X^{m}}{m!} \right) \\ &= \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{X^{k}}{k!} \dfrac{(-1)^{m-k}X^{m-k}}{(m-k)!} \\ &= \sum_{m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{m!} \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{m!}{k!(m-k)!} (-1)^{m-k}X^{m} \\ &= \sum_{m = 0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} \left( \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{m!}{k!(m-k)!} (-1)^{m-k} \right) \end{align*} $$

このとき括弧内の値は二項定理で表される。

$$ \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{m!}{k!(m-k)!} (-1)^{m-k} = \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{m!}{k!(m-k)!} 1^{k}(-1)^{m-k} = (1 + (-1))^{m} $$

この値は $m=0$のときに限り $1$であり、その他の場合には $0$であるから次の結論を得る。

$$ e^{X}e^{-X} = \dfrac{X^{0}}{0!} = I $$

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方法2

(f) から $Y = -X$を代入すれば成り立つ。

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(e)

(f) の系として成り立つ。

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(f)

証明は (d) 方法1 と同様の方法で行う。$e^{X}e^{Y}$は次のようである。

$$ e^{X}e^{Y} = \sum_{m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{m!} \left( \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{m!}{k!(m-k)!} X^{m}Y^{m-k} \right) $$

$X$と $Y$が可換であると仮定したので、二項定理により次を得る。

$$ (X + Y)^{m} = \sum_{k = 0}^{m} \dfrac{m!}{k!(m-k)!} X^{m}Y^{m-k} $$

$$ \implies e^{X}e^{Y} = \sum\limits_{m = 0}^{\infty}\dfrac{(X + Y)^{m}}{m!} = e^{X+Y} = e^{Y}e^{X} $$

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(g)

$e^{X}$の定義と行列の極限の性質により次が成り立つ。

$$ \begin{align*} e^{CXC^{-1}} &= \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \dfrac{(C X C^{-1})^{m}}{m!} \\ &= \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \dfrac{C X^{m} C^{-1}}{m!} \\ &= \lim\limits_{M \to \infty}\sum\limits_{m = 0}^{M} \dfrac{C X^{m} C^{-1}}{m!} \\ &= \lim\limits_{M \to \infty} C \left( \sum\limits_{m = 0}^{M} \dfrac{X^{m}}{m!} \right) C^{-1} \\ &= C \left( \lim\limits_{M \to \infty} \sum\limits_{m = 0}^{M} \dfrac{X^{m}}{m!} \right) C^{-1} \\ &= C e^{X} C^{-1} \end{align*} $$

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