📂表現論

コンパクトリー群

定義¹

リー群

リー群 $G$が 位相群として コンパクト空間であれば、 $G$を コンパクト^compactという。

行列リー群

行列リー群 $G \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$について、 $G$が $M_{n \times n}(\mathbb{C}) \cong \mathbb{R}^{2n \times 2n}$の部分 位相空間として コンパクト空間であれば、 $G$を コンパクトという。

説明

ハイネ–ボレルの定理によって、行列リー群がコンパクトであるための必要十分条件は 有界であり $M_{n \times n}(\mathbb{C})$の部分集合として 閉じていることである。つまり行列リー群 $G$がコンパクトであるとは、次の二つの条件が成り立つことを意味する。

• 有界: 任意の $A \in G$に対して、$|A_{ij}| \le C$が成り立つ定数 $C > 0$が存在する。
• 閉: $G$の数列 $\left\{ A_{m} \right\}$が $A$に 収束すると、$A \in G$である。

種類

以下のリー群はすべてコンパクトなリー群である。いずれも実数または複素数の行列空間の閉集合であり、有界であるからだ。閉集合であることは各リンク先で確認できるし、有界であることはそれらの元はすべて列として単位ベクトルを持つ行列であるため $|A_{ij}| \le 1$が成り立つからである。

• 直交群 $\operatorname{O}(n)$
• 特殊直交群 $\operatorname{SO}(n)$
• ユニタリ群 $\operatorname{U}(n)$
• 特殊ユニタリ群 $\operatorname{SU}(n)$
• コンパクトシンプレクティック群 $\operatorname{Sp}(n)$

これらを除くほとんどのリー群はコンパクトなリー群ではない。例えば 特殊線形群 を見ると、任意の $m \ne 0$に対して次の形を含むため有界ではない。

$$ A_{m} = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \det A_{m} = 1 $$