📂表現論

ハイゼンベルク群

定義¹

下のような $3 \times 3$ の 行列たちの集合を ハイゼンベルク群^{Heisenberg group}という。

説明

対角成分が $1$ の 上三角行列の集合である。

群

行列積が 二項演算として与えられるとき，集合 $H$ は 群になる。

• 閉じている

  $$ \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & 1 & \beta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a + \alpha & c + a\beta + \gamma \\ 0 & 1 & b + \beta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

  右辺の $1$ 行， $3$ 列 の成分の $a \beta$ により 可換群ではないことが分かる。

• 結合法則

  行列積なので成り立つ。

• 単位元

  行列積なので 単位行列 が単位元である。

• 逆元

  逆元は以下の通りである。

$$ \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -a & ab-c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

部分群

すべての元に対して逆元が存在するので $\operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$ の部分集合であり，行列積に関してそれ自体が群であるから $H$ は $\operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$ の部分群である。

行列リー群

$H$ は $\operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$ の閉部分群であるから 行列リー群 になる。写像 $f : \operatorname{GL}(3, \mathbb{R}) \to M_{3 \times 3}(\mathbb{R})$ を次のように定義しよう。対角成分とその下の成分だけを取る写像である。

$$ f(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{22} & A_{33} & A_{21} & A_{31} & A_{32} \end{bmatrix}, \qquad A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) $$

すると $f$ は連続写像である。［連続写像の閉集合に対する逆像は閉集合］(../1722)であることを思い出そう。集合 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right\}$ が $M_{3 \times 3}$ において閉集合であるので，その逆像である $H$ も閉集合である。

$$ f^{-1}(\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right\}) = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} : a, b, c \in \mathbb{R} \right\} = H $$

したがって $H$ は閉部分群となり，行列リー群である。