📂線形代数

平行移動

定義

ベクトル空間 $V$ の元 $\mathbf{u}$ が与えられたとする。以下のような 変換 $T_{\mathbf{u}} : V \to V$ を 平行移動^translation と呼ぶ。

$$ T_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \mathbf{u} $$

説明

ベクトル空間上で作用する変換のうち、線形変換 ではない代表的な例である。したがって有限次元の場合、行列で表現できない。

$$ T_{\mathbf{u}} (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{v} + \mathbf{w} + \mathbf{u} \ne (\mathbf{v} + \mathbf{u}) + (\mathbf{w} + \mathbf{u}) = T_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) + T_{\mathbf{u}}(\mathbf{w}) $$

平行移動を含む変換を扱いたいなら、アフィン変換 を検討すべきだ。