直交変換
定義
$n \times n$ 直交行列 $A$に対する 行列変換 $T_{A}: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$を 直交変換orthogonal transformationという。
$$ \mathbf{y} = T_{A}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} \quad (A^{\mathsf{T}}A = I) $$
説明
直交行列も直交変換も数学的本質は同じだが、行列ではなく変換と呼ぶということは写像の観点から見るという意味である。直交行列が満たす性質は直交変換もそのまま満たす。
性質
(a) 直交変換は線形変換である。
(b) 直交変換は内積(角度)を保存する。 $$ \Braket{T_{A}\mathbf{x} , T_{A}\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} $$
(c) 直交変換はノルム(長さ)を保存する。 $$ \left\| T_{A} \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$