直交変換
定義
有限次元実内積空間$V$上の線形変換$T : V \to V$がすべての$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$に対して次を満たすとき、直交変換orthogonal transformationという。
$$ \braket{T\mathbf{x}, T\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} $$
説明
直交変換とは一言でいえば内積を保存する線形変換である。定義に行列が登場しない点に注目しよう。直交変換は、どの座標系でどのように計算されるかとは無関係に、ただ$V$の内積構造をそのままにしてベクトルを移すという性質だけで規定される。
名前に「直交」が付いている理由は、この条件が直交性を保存するからである。二つのベクトルが直交するとは$\braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}} = 0$という意味なので、内積が保存されれば次が成り立つ。
$$ \braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}} = 0 \implies \braket{T\mathbf{u}, T\mathbf{v}} = \braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}} = 0 $$
言い換えれば、垂直なものは垂直なまま残る。さらに一歩進んで正規直交基底$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を考えると、次を得る。
$$ \braket{T\mathbf{e}_{i}, T\mathbf{e}_{j}} = \braket{\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}} = \delta_{ij} $$
すなわち直交変換は正規直交基底を正規直交基底に移す。互いに垂直な単位ベクトルからなる座標軸を、依然として互いに垂直な単位ベクトルからなる座標軸へと丸ごと移すのである。下の定理で、この事実は直交行列との同値へとつながる。
一方で、「直交性だけを保存すること」と「直交変換であること」は同じ意味ではないので注意が必要である。例えば$T = 2I$を考えると、$\braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}} = 0$のとき$\braket{2\mathbf{u}, 2\mathbf{v}} = 4\braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}} = 0$なので、すべての直角は直角に送られる。しかしこれは直交変換ではない。
$$ \braket{2\mathbf{x}, 2\mathbf{y}} = 4 \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \ne \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} $$
すべての長さが二倍に伸びるからである。直交変換であるためには角度だけでなく長さも一緒に保存されなければならず、内積の保存という条件がまさにその両方を一度に要求する。実際、$\mathbf{y} = \mathbf{x}$を代入すればノルムが保存されることがすぐに分かる。
$$ \left\| T\mathbf{x} \right\|^{2} = \braket{T\mathbf{x}, T\mathbf{x}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}} = \left\| \mathbf{x} \right\|^{2} $$
逆に、ノルムを保存するだけで内積は自動的に保存されるが、これは下の定理で扱う。
定理の**(d)**における「任意の」正規直交基底という言葉も注目に値する。正規直交基底をうまく一つ選んだときに限って行列表現が直交行列になるのではなく、どの正規直交基底を選んでも行列表現は直交行列になる。直交性が座標系に付随する性質ではなく変換それ自体の性質であるという意味であり、これが行列ではなく変換で定義することで得られる利点である。もちろん実際に計算するときは$\mathbb{R}^{n}$の標準基底をとって$A^{\mathsf{T}}A = I$を確認すれば済む。
付け加えると、定義において線形性すら仮定する必要はない。原点を固定する等長写像は自動的に線形になり、直交変換となるからである。
定理
$V$を$n$次元実内積空間、$T : V \to V$を線形変換とする。すると次の命題はすべて同値である。
(a) $T$は直交変換である。すなわち、すべての$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$に対して$\braket{T\mathbf{x}, T\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$である。
(b) $T$はノルムを保存する。すなわち、すべての$\mathbf{x} \in V$に対して$\left\| T\mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\|$である。
(c) $T$は正規直交基底を正規直交基底に移す。すなわち、$\beta$が$V$の正規直交基底ならば$T(\beta)$も$V$の正規直交基底である。
(d) 任意の正規直交基底$\beta$に関する$T$の行列表現$A = [T]_{\beta}$が直交行列である。すなわち、$A^{\mathsf{T}}A = I$である。
証明
(a) $\implies$ (b) $\implies$ (a)と(a) $\implies$ (c) $\implies$ (d) $\implies$ **(a)**を示す。
まず、後ろの二つの環で繰り返し使われる事実を押さえておこう。$\beta = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \right\}$が正規直交基底で$\mathbf{u} = \sum_{i} a_{i} \mathbf{e}_{i}$、$\mathbf{v} = \sum_{j} b_{j} \mathbf{e}_{j}$ならば、座標ベクトル$[\mathbf{u}]_{\beta} = (a_{1}, \cdots, a_{n})^{\mathsf{T}}$、$[\mathbf{v}]_{\beta} = (b_{1}, \cdots, b_{n})^{\mathsf{T}}$に対して次が成り立つ。
$$ \braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} b_{j} \braket{\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}} = \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} = [\mathbf{u}]_{\beta}^{\mathsf{T}} [\mathbf{v}]_{\beta} \tag{1} $$
すなわち、正規直交基底に関する座標ベクトルをとることは、$V$の内積を$\mathbb{R}^{n}$の内積へとそのまま移す。
(a) $\implies$ (b)
$\mathbf{y} = \mathbf{x}$を代入すると次を得る。
$$ \left\| T\mathbf{x} \right\|^{2} = \braket{T\mathbf{x}, T\mathbf{x}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}} = \left\| \mathbf{x} \right\|^{2} $$
ノルムは非負なので$\left\| T\mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\|$である。
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(b) $\implies$ (a)
$T$は線形なので$T\mathbf{x} \pm T\mathbf{y} = T(\mathbf{x} \pm \mathbf{y})$である。これに実内積空間の偏極恒等式を適用すると次を得る。
$$ \begin{align*} \braket{T\mathbf{x}, T\mathbf{y}} &= \frac{1}{4} \left( \left\| T\mathbf{x} + T\mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| T\mathbf{x} - T\mathbf{y} \right\|^{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \left\| T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \right\|^{2} - \left\| T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \right\|^{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} \right) \\ &= \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \end{align*} $$
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(a) $\implies$ (c)
$\beta = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を$V$の正規直交基底とする。内積が保存されるので次が成り立つ。
$$ \braket{T\mathbf{e}_{i}, T\mathbf{e}_{j}} = \braket{\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}} = \delta_{ij} $$
したがって$T(\beta) = \left\{ T\mathbf{e}_{1}, \cdots, T\mathbf{e}_{n} \right\}$は正規直交集合である。正規直交集合は零ベクトルを含まない直交集合なので線形独立であり、$n$個の線形独立なベクトルは$n$次元空間$V$の基底となる。ゆえに$T(\beta)$は$V$の正規直交基底である。
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(c) $\implies$ (d)
$\beta = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を$V$の任意の正規直交基底とし、$A = [T]_{\beta}$とする。行列表現の定義により、$A$の$j$番目の列は座標ベクトル$[T\mathbf{e}_{j}]_{\beta}$である。これを$\mathbf{a}_{j}$と書くと、$(1)$と仮定**(c)**により次を得る。
$$ \mathbf{a}_{i}^{\mathsf{T}} \mathbf{a}_{j} = [T\mathbf{e}_{i}]_{\beta}^{\mathsf{T}} [T\mathbf{e}_{j}]_{\beta} = \braket{T\mathbf{e}_{i}, T\mathbf{e}_{j}} = \delta_{ij} $$
$A^{\mathsf{T}}A$の$(i, j)$成分がちょうど$\mathbf{a}_{i}^{\mathsf{T}} \mathbf{a}_{j}$なので$A^{\mathsf{T}}A = I$であり、$A$は直交行列である。
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(d) $\implies$ (a)
$V$の正規直交基底$\beta$を一つとり、$A = [T]_{\beta}$とする。仮定により$A^{\mathsf{T}}A = I$であり、行列表現の定義によりすべての$\mathbf{x} \in V$に対して$[T\mathbf{x}]_{\beta} = A[\mathbf{x}]_{\beta}$である。したがって$(1)$により次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \braket{T\mathbf{x}, T\mathbf{y}} &= [T\mathbf{x}]_{\beta}^{\mathsf{T}} [T\mathbf{y}]_{\beta} \\ &= \left( A[\mathbf{x}]_{\beta} \right)^{\mathsf{T}} \left( A[\mathbf{y}]_{\beta} \right) \\ &= [\mathbf{x}]_{\beta}^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}} A [\mathbf{y}]_{\beta} \\ &= [\mathbf{x}]_{\beta}^{\mathsf{T}} [\mathbf{y}]_{\beta} \\ &= \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \end{align*} $$
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