📂表現論

斜交群 (シンプレクティック群)

背景¹

直交行列とは $Q^{\mathsf{T}}Q = I$ を満たす行列をいい、この性質は $Q$ が 内積を保存することと同値である。こうした性質をもつ行列の集合は 群になり（さらに リー群にもなる）、これを 直交群という。次のように表す。

$$ \begin{align*} \operatorname{O}(n) &= \left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}}Q = I \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \braket{Q\mathbf{x}, Q\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \end{align*} $$

内積は 対称双線形形式の一種だが、直交群と同様に他の演算を保存する集合を考えられる。対称双線形形式 $[\cdot, \cdot]_{n,k}$ が次のように与えられているとする。 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n+k}$ に対して、

$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} - \cdots - x_{n+k}y_{n+k} $$

この演算を保存する行列の集合を 一般直交群という。

$$ \begin{align*} \operatorname{O}(n, k) &= \left\{ Q \in M_{(n+k) \times (n+k)}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q = \Lambda \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{(n+k) \times (n+k)}(\mathbb{R}) : [Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}]_{n, k} = [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n, k} \right\} \end{align*} $$

ここで $\Lambda = \begin{bmatrix} I_{n} & O \\ O & -I_{k} \end{bmatrix}$ である。シンプレクティック群も上の群と似たように定義される。反対称双線形形式 $\omega : \mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n} \to \mathbb{R}$ を次のように定義する。

$$ \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}y_{n+i} - x_{n+i}y_{i}) $$

この演算を保存する行列の集合をシンプレクティック群と定義する。

定義

上の表記法をそのまま用い、シンプレクティック群^{simplectic group} $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ を以下のように定義する。

$$ \begin{align*} \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega \right\} \tag{1} \\ &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{R}) : \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) = \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2n} \right\} \end{align*} $$

説明

あるいは $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$ と表すこともある。以下の性質により上の二つの定義は同値である。

$\omega(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ を内積で表すと $\braket{\mathbf{x}, \Omega \mathbf{y}}$ と等しい。ここで $\Omega = \begin{bmatrix} O & I_{n} \\ -I_{n} & O \end{bmatrix}$ である。

$$ \begin{align*} \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) &= \sum_{i=1}^{n} (x_{i}y_{n+i} - x_{n+i}y_{i}) \\ &= \Braket{\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ x_{n+1} \\ \vdots \\ x_{2n} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_{n+1} \\ \vdots \\ y_{2n} \\ -y_{1} \\ \vdots \\ -y_{n} \end{bmatrix}} \\ &= \Braket{\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ x_{n+1} \\ \vdots \\ x_{2n} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \\ y_{n+1} \\ \vdots \\ y_{2n} \end{bmatrix}} \\ &= \braket{\mathbf{x}, \Omega \mathbf{y}} \tag{2} \end{align*} $$

部分群

まず $A \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ ならば $A^{-1} \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ であることを思い出せ。

$$ A^{\mathsf{T}} \Omega A = \Omega \iff \Omega = (A^{-1})^{\mathsf{T}} \Omega A^{-1} $$

部分群判定法により $A, B \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ なら、 $AB^{-1} \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ であることを示せばよい。 $A, B \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ とする。すると $A$ と $B^{-1}$ が $(1)$ を満たすので、

$$ (AB^{-1})^{\mathsf{T}} \Omega (AB^{-1}) = (B^{-1})^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}} \Omega A B^{-1} = (B^{-1})^{\mathsf{T}} \Omega B^{-1} = \Omega $$

したがって $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ は $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ の部分群である。

$$ \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$

行列リー群

$\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ は $\operatorname{GL}(2n, \mathbb{R})$ の閉部分群であるから 行列リー群 になる。関数 $f: \operatorname{GL}(2n, \mathbb{R}) \to M_{2n \times 2n}(\mathbb{R})$ を次のように定義する。

$$ f(Q) = Q^{\mathsf{T}} \Omega Q $$

すると $f$ は連続関数である。連続関数の閉集合に対する逆像は閉集合であることを思い出せ。 $Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ であることの必要十分条件は $Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega$ であり、閉集合 $\left\{ \Omega \right\}$ の逆像が $f^{-1}(\left\{ \Omega \right\}) = \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ であるため、 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ は $\operatorname{GL}(2n, \mathbb{R})$ の閉部分群となり行列リー群となる。

複素行列について

実数空間上で定義した双線形形式 $\omega$ をそのまま複素空間 $\mathbb{C}^{2n}$ 上で定義できる。

$$ \omega : \mathbb{C}^{2n} \times \mathbb{C}^{2n} \to \mathbb{C} \\[0.5em] \omega(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum_{i} u_{i}v_{n+i} - u_{n+i}v_{i} $$

これは依然として反対称双線形形式であるが、複素共役を取らないため複素空間上での 内積 にはならない点に注意せよ。複素シンプレクティック群^{complex symplectic group} を次のように定義する。

$$ \begin{align*} \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : Q^{\ast} \Omega Q = \Omega \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : \omega (Q \mathbf{u}, Q \mathbf{v}) = \omega (\mathbf{u}, \mathbf{v}), \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{2n} \right\} \end{align*} $$

ここで $A^{\ast}$ は $A$ の 共役転置 である。複素シンプレクティック群も実シンプレクティック群と同じ性質を持つ。一方、複素行列の集合のうち内積を保存する集合は別にあり、それが ユニタリ群 である。集合 $\operatorname{Sp}(n)$ を以下のように定義すると、複素空間上の内積と双線形形式 $\omega$ の両方を保存する行列の集合となり、これを コンパクトシンプレクティック群 と呼ぶ。

$$ \operatorname{Sp}(n) = \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) \cap \operatorname{U}(2n) $$

性質

(a) $\Omega^{-1} = -\Omega$ である。

(b) $Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ に関して、 $\det Q = \pm 1$ である。

(c) $Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ であることの必要十分条件は $ Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega$ である。

$$ \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) = \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \iff Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega $$

証明

(a)

ブロック行列 の計算も 行列の積 と同様に行えばよいので、

$$ \Omega (-\Omega) = \begin{bmatrix} O & I_{n} \\ -I_{n} & O \end{bmatrix} \begin{bmatrix} O & -I_{n} \\ I_{n} & O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{n} & O \\ O & I_{n} \end{bmatrix} $$

$$ \implies \Omega^{-1} = -\Omega $$

■

(b)

性質 (c) により $Q^{\mathsf{T}} \Omega Q = \Omega$ なので、行列式の性質 により次を得る。

$$ \begin{align*} && \det(Q^{\mathsf{T}} \Omega Q) &= \det \Omega \\ \implies && \det Q^{\mathsf{T}} \det \Omega \det Q &= \det \Omega \\ \implies && (\det Q)^{2} &= 1 \\ \implies && \det Q &= \pm 1 \\ \end{align*} $$

■

(c)

以下のように難しくなく示せる。

$$ \begin{align*} && Q \in \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) \\ \iff && \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) &= \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \\ \iff && \braket{Q \mathbf{x}, \Omega Q \mathbf{y}} &= \braket{\mathbf{x}, \Omega\mathbf{y}} \\ \iff && (Q \mathbf{x})^{\mathsf{T}} \Omega Q \mathbf{y} &= \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \Omega\mathbf{y} \\ \iff && \mathbf{x}^{\mathsf{T}} Q^{\mathsf{T}} \Omega Q \mathbf{y} &= \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \Omega\mathbf{y} \\ \iff && \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \left( Q^{\mathsf{T}} \Omega Q - \Omega \right) \mathbf{y} &= 0 \quad\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2n} \\ \iff && \left( Q^{\mathsf{T}} \Omega Q - \Omega \right) \mathbf{y} &= \mathbf{0} \quad\forall \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2n} \\ \iff && \left( Q^{\mathsf{T}} \Omega Q - \Omega \right) &= O \\ \iff && Q^{\mathsf{T}} \Omega Q &= \Omega \\ \end{align*} $$

■