📂行列代数

行列の収束

定義¹

$\left\{ A_{n} \right\}$を実数（または複素数）の行列の数列とする。$\left\{ A_{n} \right\}$が行列$A$に収束する^convergesとは、$A_{n}$の各成分の数列$\left\{ [A_{n}]_{ij} \right\}$が$A$の成分$[A]_{ij}$に収束することを意味する。

$$ \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A, \quad \text{if } \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}]_{ij} = [A]_{ij} \quad \forall i,j $$

$$ \left\{ A_{n} \right\} \to A \text{ as } n \to \infty, \quad \text{if } \left\{ [A_{n}]_{ij} \right\} \to [A]_{ij} \text{ as } n \to \infty \quad \forall i,j $$

説明

一言で言えば成分ごとの収束が行列の収束である。成分ごとの収束で定義されているため、実数列の極限の性質をそのまま受け継ぐ。

性質

以下、$A$と$B$は文脈上加法と乗法が定義される行列とする。$\lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A$と$\lim\limits_{n \to \infty} B_{n} = B$について次が成り立つ。

(a) $\lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A \iff \| A_{n} - A \| \to 0$

(b) $\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n} + B_{n})$

(c) $\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n} B_{n}) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right) \cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} B_{n} \right) = AB$

(d) もし $\lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A$なら、$\lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = A^{\ast}$

証明

(b)

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}+B_{n}]_{ij} &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( [A_{n}]_{ij} + [B_{n}]_{ij} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}]_{ij} + \lim\limits_{n \to \infty} [B_{n}]_{ij} \\ &= [A]_{ij} + [B]_{ij} = [A+B]_{ij} \end{align*} $$

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(c)

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} [A_{n}B_{n}]_{ij} &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k} [A_{n}]_{ik} [B_{n}]_{kj} \\ &= \sum_{k} [A]_{ik} [B]_{kj} \\ &= [AB]_{ij} \end{align*} $$

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(d)

共役転置は連続で、連続関数の定義により次が成り立つ。

$$ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right)^{\ast} = A^{\ast} $$

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