📂表現論

群表現の直和

導入

二つのベクトル空間 $V_{1}$と$V_{2}$が与えられたとしよう。この二つの直和を$V = V_{1} \oplus V_{2}$のように表そう。すると$v \in V$は$v = v_{1} + v_{2} (v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2})$と一意に表される。

ここで群 $G$の表現 $(\rho_{1}, V_{1})$を考えてみよう。

$$ \rho_{1} : G \to \operatorname{GL}(V_{1}) $$

$\rho_{1}$は$g \in G$を線形変換(=行列) $\rho_{1}(g) : V_{1} \to V_{1}$へ対応させる。同様に表現$(\rho_{2}, V_{2})$に対して$\rho_{2}(g) : V_{2} \to V_{2}$である。これをもとに二つの表現の直和を次のように定義できる。

定義

群$G$の二つの表現$(\rho_{1}, V_{1})$と$(\rho_{2}, V_{2})$の直和^{direct sum}を$(\rho, V) = (\rho_{1} \oplus \rho_{2}, V_{1} \oplus V_{2})$のように表し、次のように定義する。

$$ \begin{align*} \rho : G &\to \operatorname{GL}(V_{1} \oplus V_{2}) \\ g &\mapsto \rho(g) : V \to V \end{align*} $$

$$ \rho(g)(v) = \rho_{1}(g)(v_{1}) + \rho_{2}(g)(v_{2}), \quad \forall v = v_{1} + v_{2} \in V $$

一般化

表現$(\rho_{i}, V_{i})$たちの直和$(\rho, V) = (\bigoplus_{i} \rho_{i}, \bigoplus V_{i})$は次のように定義される。

$$ \rho(g) v = \sum_{i} \rho_{i}(g)(v_{i}), \quad \forall v = \sum_{i} v_{i} \in V $$

説明

逆に、群$G$の表現$(\rho, V)$に対して、$V = \bigoplus_{i} V_{i}$であり各々の$V_{i}$が$\rho$-不変な部分空間であるとしよう。すると$\rho$は$V_{i}$上の表現$\rho_{i}(g) = \rho(g)|_{V_{i}}$たちの直和で表すことができる。

$$ \rho = \bigoplus_{i} \rho_{i} = \bigoplus_{i} \rho(g)|_{V_{i}} $$

$\rho(g)$を行列で表現すると以下のようになる。

$$ \rho : g \mapsto \begin{bmatrix} [\rho_{1}(g)] & O \\ O & [\rho_{2}(g)] \end{bmatrix} $$

$$ [\rho(g)] = \begin{bmatrix} [\rho_{1}(g)] & O \\ O & [\rho_{2}(g)] \end{bmatrix} $$

事実上行列の直和と同じである。

性質

(a) $G$の二つの表現の直和も$G$の表現である。

証明

(a)

$\rho(gh) = \rho(g)\rho(h)$であることを示せばよい。行列の形で見れば難しくなく示すことができる。対角行列同士の積も対角行列なので、

$$ \begin{align*} \rho(g) \rho(h) &= \begin{bmatrix} \rho_{1}(g) & O \\ O & \rho_{2}(g) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rho_{1}(h) & O \\ O & \rho_{2}(h) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \rho_{1}(g)\rho_{1}(h) & O \\ O & \rho_{2}(g)\rho_{2}(h) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \rho_{1}(gh) & O \\ O & \rho_{2}(gh) \end{bmatrix} \\ &= \rho(gh) \end{align*} $$

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