📂抽象代数

群の中心

定義¹

群 $G$ のすべての元と 可換 な元の集合を $Z(G)$ として表し、これを $G$ の 中心^$G$の中心という。

$$ Z(G) := \left\{ a \in G : ax = xa \quad \forall x \in G \right\} $$

説明

表記が $Z$ である理由は、ドイツ語で「中心」を意味する単語 Zentrum に由来するためである。定義により $G$ が可換か否かに関わらず、$Z(G)$ は 可換群 である。また 自明 にして、可換群 $G$ の中心は $G$ 自身である。

$$ Z(G) = G\quad \text{ if } G \text{ is Abelian.} $$

中心の元が単位元以外に存在しないとき、自明であるという。例えば $S_{3}$ の中心は自明である（下参照）。

正規部分群との比較

正規部分群

部分群 $H$ が次の性質を満たすとき、$G$ の正規部分群という。

$$ gH = Hg \quad \forall g \in G $$

群の中心は正規部分群によく似ており、実際に中心は正規部分群でもある。この二つの違いは、中心はすべての元に対して等式が成立しなければならないのに対し、正規部分群は集合の単位でのみ等式が成立すればよい、という点である。すなわち、中心の定義の方がより厳格である。

対称群 $S_{3}$ を例にとる。これの各元を次のように表す。

$$ e = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \alpha = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \quad \alpha^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$ $$ \beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad \alpha\beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad \alpha^{2}\beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} $$

ここで、すべての元と可換なものは単位元のみであるから、$S_{3}$ の中心は自明である。

$$ Z(S_{3}) = \left\{ e \right\} $$

一方、正規部分群は交代群 $A_{3}$ である。

$$ A_{3} = \left\{ e, \alpha, \alpha^{2} \right\} \lhd S_{3} $$

以下の事実を確認しておく。

• 中心は最小の正規部分群か? $\to \text{(X)}$
  任意の可換群 $G$ に対して、$Z(G) = G$ であるが、この場合 $\left\{ e \right\}$ が正規部分群であるため、中心は最小の正規部分群ではない。

• 中心は最小の非自明な正規部分群か? $\to \text{(X)}$
  上の例 $S_{3}$ に見られるように、中心は自明な正規部分群と同じであり得る。

性質

• 対称群 $S_{n}$ の場合、$n \ge 3$ ならば $Z(S_{n}) = \left\{ e \right\}$ である。
• 交代群 $A_{n}$ の場合、$n \ge 4$ ならば $Z(A_{n}) = \left\{ e \right\}$ である。
• 正多面体群 $D_{n}$ の場合、$n \ge 3$ のとき、$n$ が偶数ならば $Z(D_{n}) = \left\{ R_{0}, R_{180} \right\}$、$n$ が奇数ならば $Z(D_{n}) = \left\{ R_{0} \right\}$ である。

定理

(ㄱ) $Z(G)$ は可換群である。

(ㄴ) $G$ が可換群ならば、$Z(G) = G$ である。逆も成り立つ。

(a) 群 $G$ の中心 $Z(G)$ は $G$ の 部分群 である。

$$ Z(G) \le G $$

(b) $Z(G)$ は $G$ の 正規部分群 である。

$$ Z(G) \lhd G $$

証明

(a)

部分群判定法

群 $G$ の空でない部分集合 $H$ に対して、次の二条件を満たせば $H$ は $G$ の部分群である。

1. $a$、$b \in H \implies ab \in H$
2. $a \in H \implies a^{-1} \in H$

1段階: $Z(G) \ne \emptyset$

単位元の定義により、任意の群 $G$ に対して常に $e \in Z(G)$ が成り立つので $Z(G)$ は空集合ではない。

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2段階: $a, b \in Z(G) \implies ab \in Z(G)$

$a, b \in Z(G)$ としよう。すると次が成り立つ。

$$ (ab)x = a(bx) = (bx)a = b(xa) = (xa)b = x(ab) $$

ゆえに $ab \in Z(G)$ である。

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3段階: $a \in Z(G) \implies a^{-1} \in Z(G)$

$a \in Z(G)$ としよう。すると $ax = xa$ が成り立つ。両辺の前後に $a^{-1}$ を取ると、

$$ \begin{align*} && a^{-1}(ax)a^{-1} &= a^{-1}(xa)a^{-1} \\ \implies && (a^{-1}a)xa^{-1} &= a^{-1}x(aa^{-1}) \\ \implies && xa^{-1} &= a^{-1}x \\ \implies && a^{-1}x &= xa^{-1} \end{align*} $$

ゆえに $a^{-1} \in Z(G)$ である。

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(b)

正規部分群 の定義により自明である。

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