📂抽象代数

抽象代数学で位数

定義¹

群の位数

群 $G$の元の個数を 位数^orderといい、$|G|$または$\operatorname{ord}(G)$のように表す。

元素の位数

群 $G$の元 $g$について、以下の式を満たす最小の整数 $n$を $g$の 位数^orderという。

$$ g^{n} = e $$

このとき $e \in G$は単位元である。このような整数が存在しない場合、$g$は 無限位数^{infinite order}を持つという。 $g$の位数は $|g|$ または $\operatorname{ord}(g)$ のように表記する。

性質

$|G|$が有限なら、$G$を 有限群^{finite group}という。

• 群 $G$と2つの元 $a, b \in G$に対して $|ab| = |ba|$が成り立つ。

• 巡回群 $\braket{a}$の場合、次が成り立つ。 $$ \vert\!\braket{a}\!\vert = |a| $$

• ラグランジュの定理: 部分群 $H \le G$の位数は $G$の位数を割り切る。 $$ |H| \mid |G| $$