📂抽象代数

共役類(きょうやくるい)

定義¹

群 $G$ の元 $a$ と $b$ に対して、ある $x \in G$ が存在して $xax^{-1} = b$ を満たすとき、$a$ と $b$ が 共役 ^{$a$ と $b$ は共役である} 関係にあるという。あるいは $b$ を $a$ の共役 ^{$a$ の共役} と呼ぶ。

$a$ のすべての共役元の集合を 共役類 ^{conjugacy class} といい、$\operatorname{cl}(a)$ のように表す。 $$ \operatorname{cl}(a) := \left\{ xax^{-1} : x \in G \right\} $$

説明

単位元 $e \in G$ について、常に $e a e^{-1} = a$ が成り立つので共役類には常に自身が含まれる。つまりすべての共役類は 空集合 ではない。

$$ a \in \operatorname{cl}(a) $$

定理

(a) 共役は $G$ 上の 同値関係 である。

(b) 有限群 $G$ と $a \in G$ に対して次が成り立つ。 $$ |\operatorname{cl}(a)| = |G : C(a)| $$ このとき $C(a)$ は 中心化、$|G : C(a)|$ は 指数 である。

(b’)

$|\operatorname{cl}(a)|$ は $|G|$ の約数である。

$$ |\operatorname{cl}(a)| = |G| / |C(a)| $$

証明

(a)

$x a x^{-1} = b$ を満たす $a$ と $b$ を順序対 $(a,b)$ で表し、$R = \left\{ (a,b) : xax^{-1} = b \right\}$ とする。

群 $G$ 上の同値関係 $R$ とは次を満たす集合である。

1. $(a, a) \in R$ $\forall a \in G$
2. $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$
3. $(a, b) \in R$、$(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$

1. 単位元 $e$ とすべての $a \in G$ に対して $eae^{-1} = a$ なので $(a, a) \in R$ が成り立つ。

2. $(a, b) \in R$ なら $xax^{-1} = b$ が成り立つ。$y = x^{-1}$ とすれば次が成り立つ。 $$ yby^{-1} = y(xax^{-1})y^{-1} = x^{-1}xaxx^{-1} = a \implies (b,a) \in R $$

3. $(a, b) \in R$、$(b, c) \in R$ なら $xax^{-1} = b$ と $yby^{-1} = c$ が成り立つ。$z = yx$ とすれば次が成り立つ。 $$ c = yby^{-1} = y(xax^{-1})y^{-1} = (yx)a(x^{-1}y^{-1}) = (yx) a (yx)^{-1} = zaz^{-1} $$ $$ \implies (a,c) \in R $$

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(b)

次のような写像が [正しく定義され]、全単射 であることを示すことで証明する。固定された $a \in G$ に対して、

$$ \begin{align*} \phi : G/C(a) &\to \operatorname{cl}(a) \\ xC(a) &\mapsto xax^{-1} \end{align*} $$

このとき $G/C(a)$ は 剰余群 である。

$\phi$ が正しく定義される

すべての $x \in G$ に対して写像値 $\phi(xC(a)) = xax^{-1}$ が存在する。また 剰余類の性質 により次が成り立つ。

$$ \begin{align*} x_{1}C(a) = x_{2}C(a) &\iff x_{1}x_{2}^{-1} \in C(a) \\ &\iff x_{1}^{-1}x_{2}a = ax_{1}^{-1}x_{2} \\ &\iff x_{1}^{-1}x_{2}ax_{2}^{-1} = ax_{1}^{-1} \\ &\iff x_{2}ax_{2}^{-1} = x_{1}ax_{1}^{-1} \\ \end{align*} $$

したがって $\phi$ は正しく定義される。

$\phi$ は一対一である

$\phi$ が 単射 であることは上の式から既に示された。

$\phi$ は全射である

すべての $xax^{-1} \in \operatorname{cl}(a)$ に対して、$xC(a) \in G/C(a)$ が存在する。ゆえに $\phi$ は 全射 である。

結論

写像 $\phi : G/C(a) \to \operatorname{cl}(a)$ が全単射であるので、二つの集合の 位数 は等しい。

$$ |\operatorname{cl}(a)| = |G/C(a)| = |G : C(a)| $$

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