正規作用素
定義
ヒルベルト空間 $H$と有界線型作用素 $T : H \to H$が次を満たすとき、正規（ノーマル）作用素normal operatorと呼ぶ。
$$ T^{\ast}T = TT^{\ast} $$
$T^{\ast}$は $T$の随伴作用素である。
説明
定義から自己随伴$(T^{\ast}=T)$であれば正規作用素であり、ユニタリ$(T^{\ast}=T^{-1})$であれば正規作用素である。逆は一般に成り立たない。
有限次元、すなわち行列で見れば $T^{\ast}$は $T$の共役転置行列である。すなわち正規作用素は正規行列の一般化である。
性質
(a) 2つの正規作用素 $S$と $T$が $ST^{\ast} = T^{\ast}S$と $TS^{\ast} = S^{\ast}T$を満たすとする。すると和と積も正規作用素である。 $$ \text{$S+T$ and $ST$ are normal} $$
(b) 複素ベクトル空間 $H$と有界線型作用素 $T : H \to H$について、$T$が正規作用素であることは $\| T^{\ast}x \| = \| Tx \|$ $\forall x \in H$であることと同値である。
(c) 正規な $T$ に対して、 $\| T^{2} \| = \| T \|^{2}$
証明
(a)
$S + T$が正規であることを示すには $(S + T)^{\ast}(S + T) = (S + T)^{\ast}(S + T)$であることを示せばよい。
$$ \begin{align*} (S + T)^{\ast}(S + T) &= (S^{\ast} + T^{\ast})(S + T) \\ &= S^{\ast}S + T^{\ast}S + S^{\ast}T + T^{\ast}T \\ &= SS^{\ast} + ST^{\ast} + TS^{\ast} + TT^{\ast} \\ &= S(S^{\ast} + T^{\ast}) + T(S^{\ast} + T^{\ast}) \\ &= (S + T)(S^{\ast} + T^{\ast}) \end{align*} $$
$ST$が正規であることを示すには $(ST)^{\ast}(ST) = (ST)^{\ast}(ST)$であることを示せばよい。
$$ \begin{align*} (ST)^{\ast}(ST) &= T^{\ast}S^{\ast} ST = T^{\ast}(S^{\ast}S)T \\ &= T^{\ast}S S^{\ast}T = (T^{\ast}S) (S^{\ast}T) \\ &= (ST^{\ast}) (TS^{\ast}) = S(T^{\ast}T)S^{\ast} \\ &= ST T^{\ast}S^{\ast} \\ &= ST(ST)^{\ast} \end{align*} $$
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(b)
$(\implies)$ $T$が正規作用素であるとする。すると随伴作用素と正規作用素の定義から次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \| T^{\ast}x \| = \braket{T^{\ast}x, T^{\ast}x} &= \braket{x, TT^{\ast} x} \\ &= \braket{x, T^{\ast}T x} \\ &= \braket{Tx, Tx} = \| Tx \| \end{align*} \qquad \forall x \in H $$
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$(\impliedby)$ $\| T^{\ast}x \| = \| Tx \|$ $\forall x \in H$であるとする。すると次を得る。
$$ \begin{align*} && \braket{T^{\ast}x, T^{\ast}x} &= \braket{Tx, Tx} \\ \implies && \braket{TT^{\ast}x, x} &= \braket{T^{\ast}Tx, x} \\ \implies && \braket{(TT^{\ast} - T^{\ast}T)x, x} &= 0 \end{align*} \qquad \forall x \in H $$
複素ベクトル空間 $X$ に対して、$Q : X \to X$がすべての $x \in X$ に対して $\braket{Qx, x} = 0$ であれば、 $Q = 0_{\text{op}}$ である。
零作用素の性質により次が成り立つ。
$$ TT^{\ast} - T^{\ast}T = 0 \implies TT^{\ast} = T^{\ast}T $$
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(c)
随伴作用素の性質により $\| T^{\ast} T \| = \| T T^{\ast} \| = \| T \|^{2}$ が成り立つ。したがって $\| TT^{\ast} \| = \| TT \|$ であることを示せばよい。(b) により、 $\forall (Tx) \in H$ $\| T^{\ast}(T x) \| = \| T(Tx) \|$ が成り立つ。したがって次を得る。
$$ \begin{align*} \| T^{\ast}T x \| &= \| TTx \| \\ &= \sup\limits_{\| y \| = 1} | \braket{TTx, y} | \\ &\le \sup\limits_{\| y \| = 1} \| TTx \| \| y \| \\ &= \| TTx \| \end{align*} $$
2番目の等号は内積とノルムの性質、3番目の不等号はコーシー＝シュワルツの不等式により成り立つ。作用素ノルム$(\| T T \|)$の定義により次を得る。
$$ \| T^{\ast}T x \| \le \| TTx \| \le \| TT \| \| x \| $$
再び作用素ノルム$(\| T^{\ast} T \|)$の定義により次を得る。
$$ \| T^{\ast} T \| \le \| TT \| $$
同様の方法で逆の不等式を以下のように得る。
$$ \begin{align*} \| TTx \| &= \| T^{\ast} Tx \| \\ &= \sup\limits_{\| y \| = 1} | \braket{T^{\ast}Tx, y} | \\ &\le \sup\limits_{\| y \| = 1} \| T^{\ast}Tx \| \| y \| \\ &= \| T^{\ast}Tx \| \end{align*} $$
$$ \implies \| TTx \| \le \| T^{\ast}Tx \| \le \| T^{\ast}T \| \| x \| $$
$$ \| TT \| \le \| T^{\ast}T \| $$
よって次が成り立つ。
$$ \| T^{\ast}T \| \le \| TT \| \le \| T^{\ast}T \| \implies \| T^{\ast}T \| = \| TT \| $$
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