ハウスドルフ次元
定義 1
距離空間 $\left( X, d \right)$ が与えられているとする。$S \subset X$ の 直径diameter $\diam S$ は次のように定義される。 $$ \diam S := \sup \left\{ d (x, y) : x, y \in S \right\} $$
ハウスドルフ外測度
$S$ を $X$ の 部分集合とする。正の数 $\delta > 0$ について、直径が $\delta$ より小さい $U_{k}$ たちの 合併 $\cup_{k=1}^{\infty} U_{k}$ が $S$ の 可算な 被覆であるとき、$d \ge 0$ に対して $H_{\delta}^{d}$ を次のように定義する。 $$ H_{\delta}^{d} \left( S \right) := \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \diam U_{k} \right)^{d} : \bigcup_{k=1}^{\infty} U_{k} \supset S \land \diam U_{k} < \delta \right\} $$ これに関して、$d$ 次元ハウスドルフ 外測度 $H_{\delta}^{d}$ を次のように定義する。 $$ H^{d} \left( S \right) := \lim_{\delta \to 0} H_{\delta}^{d} \left( S \right) $$
ハウスドルフ次元
$S$ のハウスドルフ次元Hausdorff dimensionを次のように定義する。 $$ \dim \left( S \right) := \inf \left\{ d \ge 0 : H^{d} (S) = 0 \right\} $$
説明
数学専攻者でなければ通常触れることのない 測度論まで引っ張ってきてこのような次元を定義する理由は、普遍的に 自己相似集合のような複雑な構造の集合についてもその大きさを「測定」するためである。
ハウスドルフ次元は ボックス-カウンティング次元の原型と見ることができる。ハウスドルフ次元そのものの定義だけ見ても非常に抽象的で直感的に捉えにくいが、その後フラクタルなどに繋がる議論まで接すると、理論的な側面からハウスドルフ次元の重要性が理解できる。