📂微分積分学

微分積分学における平均値定理の証明

定理¹

関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で連続であり、$(a,b)$ で微分可能ならば、$\displaystyle f '(c)={{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ を満たす$c$ が $(a,b)$ 内に少なくとも一つ存在する。

説明

ただよく使われるというだけではなく、MVTという略語を使用するほど有名な定理だ。平均値という言葉は、微分係数が全区間の平均変化率と同じになる点があるという意味から来ている。平均という概念が有用であるため、さまざまな分野に適用するための異なる変形形式が存在する。

証明

$\displaystyle m:= {{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ とし、$g(x):=f(x)-mx$ を定義すると、$g(b)=g(a)$ であり、$g(x)$ は微分可能である。

ロルの定理

関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で連続であり、$(a,b)$ で微分可能で、$f(a)=f(b)$ ならば、$c$ が $(a,b)$ 内に少なくとも一つ存在して、$f ' (c)=0$ を満たす。

ロルの定理により、$g ' (c)=0$ を満たす$c$ が $(a,b)$ 内に少なくとも一つ存在し、$g ' (x)=f ' (x) - m$ なので、$g ' (c) = f '(c) - m = 0$ である。$f ' (c) -m = 0$ から$(-m)$ に項を移動すると、$\displaystyle f '(c) = m = {{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ を満たす $c$ が $(a,b)$ 内に少なくとも一つ存在することがわかる。

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参照

• コーシーの平均値の定理
• 積分の平均値の定理
• ガウスの平均値の定理