平行六面体の体積公式
公式
平行六面体の体積 $V$は次のように求めることができる。
[1]: 底面の面積 $A$と高さ $h$を知っているときは次の通り: $$ V = A \times h $$
[2]: 座標空間で表現される平行六面体を構成する3つのベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$を知っているときは次の通り: $$ V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| $$
または3つのベクトルを列/行ベクトルとする行列の行列式と等しい。 $$ V = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} $$
[3]: 座標空間で表現される平行六面体を構成する3つのベクトルの大きさ $a = |\mathbf{a}|$, $b = |\mathbf{b}|$, $c = |\mathbf{c}|$と3つのベクトルの間の角度 $\alpha = \angle(\mathbf{b}, \mathbf{c})$, $\beta = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{c})$, $\gamma = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{b})$を知っているときは次の通り: $$ V = abc \sqrt{1 + 2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \cos^{2}\alpha - \cos^{2}\beta - \cos^{2}\gamma} $$
説明
[2]の公式はスカラー三重積とも呼ばれる。
証明
[2]
スカラー三重積の文書を参照せよ。
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[3]
[2]によって体積の二乗は次の通りである。行列式の積は、行列積の行列式に等しいので
$$ \begin{align*} V^{2} &= \left| \begin{bmatrix} -\ \mathbf{a}\ - \\ -\ \mathbf{b}\ - \\ -\ \mathbf{c}\ - \end{bmatrix} \right| \times \left| \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} \right| \\[2em] &= \left| \begin{bmatrix} -\ \mathbf{a}\ - \\ -\ \mathbf{b}\ - \\ -\ \mathbf{c}\ - \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} \right| \\[2em] &= \left| \begin{bmatrix} \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{c} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} \end{bmatrix} \right| \\[2em] &= \left| \begin{bmatrix} a^{2} & ab \cos \gamma & ac \cos \beta \\ ab \cos \gamma & b^{2} & bc \cos \alpha \\ ac \cos \beta & bc \cos \alpha & c^{2} \end{bmatrix} \right| \\[2em] &= a^{2}b^{2}c^{2} \left( 1 + 2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \cos^{2}\alpha - \cos^{2}\beta - \cos^{2}\gamma \right) \end{align*} $$
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