📂行列代数

行列の直交相似と直交対角化

定義¹

直交類似

二つの正方行列 $A$ と $B$ に対して、次を満たす直交行列 $P$ が存在するならば、$A$ と $B$ は 直交類似^{orthogonally similar} と呼ぶ。

$$ A = P^{\mathsf{T}}BP $$

直交対角化

正方行列 $A$ が任意の対角行列 $D$ と直交類似ならば、$A$ を 直交対角化可能^{orthogonally diagonalizable} である、あるいは $P$ が $A$ を直交対角化すると言う。つまり、次を満たす直交行列 $P$ が存在すれば $A$ は直交対角化可能な行列である。

$$ A = P^{\mathsf{T}}DP $$

説明

直交行列 は $P^{\mathsf{T}} = P^{-1}$ であるから、$A$ と $B$ が直交類似ならば $A$ と $B$ は類似である。

定理

(a) 直交対角化可能ならば対角化可能である。 逆は成り立たない。

$n \times n$ 実の正方行列 $A$ に対して次の条件は互いに同値である。

(a) $A$ は直交対角化可能である。

(b) $A$ は $n$ 個の固有ベクトルからなる正規直交集合を持つ。

(c) $A$ は対称行列である。

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(a) $\implies$ (b) の系として、$A$ が直交対角化可能で $A = P^{\mathsf{T}} D P$ ならば、$D$ の各対角成分 $d_{ii}$ は $P$ の $i$ 番目の列ベクトルに対応する $A$ の固有値である。

証明

(a) $\implies$ (b)

$n \times n$ 行列 $A$ が直交対角化可能であるとする。すると次が成り立つ直交行列 $P$ が存在する。

$$ D = P^{-1} A P $$

$P$ の列ベクトルを $\mathbf{p}_{i}$ とすると、$\mathbf{p}_{i}$ は線形独立な固有ベクトルとなる。 このとき $P$ は直交行列なので、列ベクトルは正規直交集合を成す。

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上の証明に続けて以下の式を得る。

$$ PD = AP \implies \begin{bmatrix} d_{11} \mathbf{p}_{1} & \cdots & d_{nn} \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \mathbf{p}_{1} & \cdots & A \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

したがって $D$ の $i$ 番目の対角成分 $d_{ii}$ は $P$ の $i$ 番目の列ベクトル $\mathbf{p}_{i}$ に対応する $A$ の固有値である。

(b) $\implies$ (c)

$A$ が $n$ 個の固有ベクトルからなる正規直交集合 $\left\{ \mathbf{p}_{i} \right\}$ を持つとする。これを列ベクトルとして持つ行列 $P = \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix}$ は $A$ を対角化する。

$$ A = P^{-1}DP $$

$\left\{ \mathbf{p}_{i} \right\}$ が正規直交集合であるから $P$ は直交行列である。

$$ A = P^{\mathsf{T}}DP $$

ゆえに次が成り立ち、$A$ は対称行列である。

$$ A^{\mathsf{T}} = (P^{\mathsf{T}}DP)^{\mathsf{T}} = P^{\mathsf{T}}D^{\mathsf{T}}P = P^{\mathsf{T}}DP = A $$

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(c) $\implies$ (a)

$A$ が対称行列ならば正規行列であり、スペクトル定理 によって $A$ はユニタリ対角化 可能である。ユニタリ対角化可能なら直交対角化可能である。

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