📂行列代数

行列の対角化

定義¹

正方行列 $A$が任意の対角行列 $D$と相似であれば、 $A$を対角化可能^{diagonalizable}である、あるいは $P$が $A$を対角化すると言う。すなわち、次を満たす可逆行列 $P$が存在すれば $A$を対角化可能行列とする。

$$ A = P^{-1}DP $$

説明

行列 $A$が対角化可能であれば冪乗を計算するのが非常に容易になる。 $A^{k}$を正直に計算すると行列積を $k-1$回行わなければならない。 $A = PDP^{-1}$なので、 $A^{k} = PD^{k}P^{-1}$である。このとき対角行列の冪は各対角成分を冪した行列であるため $D^{k}$は容易に得られ、行列積 $PD^{k}P^{-1}$のみを行えばよいので $k-1$回の行列積を $2$回に減らすことができる。つまり任意の $k$に対しても定数時間で $A^{k}$を計算できる。

• 対称行列の直交対角化
• 可逆行列の固有値による対角化
• 正規行列のユニタリ対角化（スペクトル定理）

以下の性質により、対角化可能な行列はその対角行列の成分が固有値となるので固有値による対角化^{diagonalization by eigenvalues}あるいは固有値分解^{eigenvalue decomposition}とも呼ばれる。

性質

(a) 直交対角化可能であれば対角化可能である。逆は成り立たない。

$n \times n$行列 $A$に関して、次の二つの陳述は同値である。

(a) $A$は対角化可能である。

(b) $A$は $n$個の線形独立な固有ベクトルを持つ。

補題

$A$の線形独立な固有ベクトルは $A$を対角化できる。

証明

(a)

直交対角化の定義により自明である。逆が成り立たないことは下の反例で分かる。 $A$の固有値は $2$、$3$であり、これに対応する固有ベクトル $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$を列ベクトルとする行列で対角化可能である。しかし対称行列ではないので直交対角化は不可能である。

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\ne P^{\mathsf{T}} $$

$$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $$

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(a) $\implies$ (b)

$A$が対角化可能であるとする。すると定義により可逆行列 $P$と対角行列 $D$について次が成り立つ。

$$ AP = PD \tag{1} $$

$A$と $P$の列ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{p}_{i}$ と表記しよう。

$$ A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \qquad P = \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

行列積

$$ AP = \begin{bmatrix} A\mathbf{p}_{1} & A\mathbf{p}_{2} & \cdots & A\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

対角行列の積

$$ PD = \begin{bmatrix} d_{1}\mathbf{p}_{1} & d_{2}\mathbf{p}_{2} & \cdots & d_{n}\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

$(1)$と上の性質により次が成り立つ。

$$ \begin{bmatrix} A\mathbf{p}_{1} & A\mathbf{p}_{2} & \cdots & A\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_{1}\mathbf{p}_{1} & d_{2}\mathbf{p}_{2} & \cdots & d_{n}\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

$$ \implies A\mathbf{p}_{i} = d_{i}\mathbf{p}_{i} \quad \forall i = 1, \dots, n $$

したがって $\mathbf{p}_{i}$は $A$の固有ベクトルである。

可逆行列であるための同値条件: $n \times n$行列 $P$について,

$$ \text{$P$が可逆行列である $\iff$ $P$の列ベクトルが線形独立である} $$

そして可逆行列であるための同値条件により、$\mathbf{p}_{1}, \dots, \mathbf{p}_{n}$は線形独立である。

■

(b) $\implies$ (a)

$A$が $n$個の線形独立な固有ベクトル $\mathbf{p}_{i}$ を持つとする。固有値を $\lambda_{i}$ とすると、

$$ A \mathbf{p}_{i} = \lambda_{i} \mathbf{p}_{i} \quad \forall i = 1, \dots, n $$

次が成り立つ。

$$ \begin{bmatrix} A\mathbf{p}_{1} & A\mathbf{p}_{2} & \cdots & A\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{1}\mathbf{p}_{1} & \lambda_{2}\mathbf{p}_{2} & \cdots & \lambda_{n}\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

$D = \diag (\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n})$とすると次が成り立つ。

$$ A\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} D $$

$$ \implies AP = P D $$

$\mathbf{p}_{i}$たちは線形独立であるから $P$は可逆行列であり、 $A$は対角化可能である。

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