📂表現論

位相群 (いそうぐん)

定義¹

群 $\braket{G, \cdot}$が位相空間であり、次を満たすとき、これを位相群^{topological group}という。

• 群の乗法 $\cdot : G \times G \to G$, $\quad (g, h) \mapsto g \cdot h$が連続である。
• 逆元への写像 $i : G \to G$, $\quad g \mapsto g^{-1}$が連続である。

位相数学の観点から

ハウスドルフ空間 $G$が次の二つの連続関数^{積写像と逆元写像}について群をなすとき、これを位相群という。

$$ m : G \times G \to G,\qquad (g, h) \mapsto g \cdot h \\ i : G \to G,\qquad g \mapsto g^{-1} $$

説明

群と位相空間のごちゃ混ぜである。積写像と逆元写像が連続であるという条件が「微分可能」に変わるとリー群になる。

$$ \text{Lie group} \implies \text{topological group} $$

例

1. すべての群は離散位相を与えると位相群になる。
2. 複素平面上の単位円 $\braket{S^{1}(\mathbb{C}), \cdot}$は位相群である。このとき $\cdot$は複素数の乗法である。
3. ユークリッド空間と加法がなす群 $\braket{\mathbb{R}^{n}, +}$は位相群である。このとき $+$はベクトルの加法である。

証明

1.

群 $\braket{G, \cdot}$に離散位相 $\mathcal{P}(G)$を与えると、$G$のすべての部分集合が開集合である。

連続関数の同値条件:

• $f : X \to Y$は連続関数である。
• すべての開集合 $V \subset Y$について $f^{-1}(V)$は開集合である。

$G$のすべての部分集合が開集合であるから、上の条件により、すべての $f : G \to G$は連続関数である。したがって逆元 $i : G \to G$は連続である。同じ論理で $G \times G$に離散位相を与えると乗法 $\cdot : G \times G \to G$も連続である。したがって群 $\braket{G, \cdot}$は位相群である。

■

2.

複素平面上の単位円とは、次を満たす集合である。

$$ S^{1}(\mathbb{C}) = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} $$

• $\braket{S^{1}(\mathbb{C}), \cdot}$は群である。

  • 閉じていること: $z_{1}, z_{2} \in S^{1}(\mathbb{C})$ならば、|$z_{1} z_{2}| = |z_{1}||z_{2}| = 1$であるから $z_{1} z_{2} \in S^{1}(\mathbb{C})$である。
  • 結合法則: $z_{1}=e^{i\theta_{1}}, z_{2}=e^{i\theta_{2}}, z_{3}=e^{i\theta_{3}}$とすると、$z_{1} (z_{2} z_{3}) = e^{i(\theta_{1} + \theta_{2} + \theta_{3})} = (z_{1} z_{2}) z_{3}$である。
  • 単位元: $(1,0) \in S^{1}(\mathbb{C})$である。
  • 逆元: $z \in S^{1}(\mathbb{C})$ならば $z^{-1} = \frac{1}{z} \in S^{1}(\mathbb{C})$である。

• $S^{1}(\mathbb{C})$は位相空間である。

  複素平面上の通常位相について部分空間位相を与える。すると $S^{1}(\mathbb{C})$は $\mathbb{C}$の部分位相空間である。