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群作用の同型写像 📂抽象代数

群作用の同型写像

定義1 2

$G$と2つの作用 $\ast_{1} : G \times X \to X$, $\ast_{2} : G \times Y \to Y$が与えられているとする。2つの$G$-集合間の関数 $f : X \to Y$が次を満たすとき、$f$を$G$に関して同変equivariant with respect to $G$であるという。

$$ f(g \ast_{1} x) = g \ast_{2} f(x), \qquad \forall g \in G, x \in X $$

説明

簡単に言えば、定義域で変化を加えたものを関数に代入した結果と、関数に代入した後に値域で変化を加えた結果が同じであるということ。

次のような例を考えてみよう。

  • $G = \braket{\mathbb{Z}, +}$ 整数の加法群
  • $X = \mathbb{Z}$ 整数集合
  • $Y = \left\{ 1, 0 \right\}$
  • $\ast_{1} : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$は加法 $g \ast_{1} x = g + x$
  • $\ast_{2} : \mathbb{Z} \times \left\{ 1, 0 \right\} \to \left\{ 1, 0 \right\}$は次のような作用、すなわち $g$が偶数ならば $y$をそのままにし、 $g$が奇数ならば $y$を反転させる。 $$ g \ast_{2} y = \begin{cases} y & \text{if } g \text{ is even} \\ 1 - y & \text{if } g \text{ is odd} \end{cases} $$
  • $f : \mathbb{Z} \to \left\{ 1, 0 \right\}$は偶数を $1$、奇数を $0$に送る関数。

すると次が成立する。

$$ f(g \ast_{1} x) = g \ast_{2} f(x), \qquad \forall g \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{Z} $$