行列によるクロネッカー・デルタ
定義
次のように定義される$\delta_{ij}$をクロネッカーのデルタという。
$$ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \ne j \end{cases} $$
説明
クロネッカーのデルタは通常、ベクトル計算が本格的に始まる理工系学部の2年生くらいから接することになる。慣れてくると複雑なベクトル計算を単純なスカラー計算に変えてくれる便利なツールだが、最初に出会うとその意味を理解しにくいことが多い。外見上、関数でもないように見え、下付き文字が同じなら$1$違うなら$0$というのが何を意味するのかよく分からないからだ。教材ではあまり説明しない方法でクロネッカーのデルタを見てみよう。
クロネッカーのデルタをよく見ると下付き文字が二つあるでしょう？ 二つの下付き文字を持つもう一つの対象が思い浮かぶかい？ そう、それが行列だ。クロネッカーのデルタ$\delta_{ij}$は具体的には単位行列$I$の$i$行、$j$列の要素である。
再定義
単位行列$I$の$i$行、$j$列の要素を$\delta_{ij}$で表記し、これをクロネッカーのデルタと呼ぶ。
$$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{pmatrix} $$
$$ I_{ij} = [I]_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \ne j \end{cases} $$
公式
$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$とする。
二つのベクトルの内積はクロネッカーのデルタを利用して次のような双線形形式で表現される。 $$ \begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathsf{T}} I \mathbf{b} &= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_{1}\delta_{11} & a_{2}\delta_{22} & a_{3}\delta_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \\ &= a_{1}\delta_{11}b_{1} + a_{2}\delta_{22}b_{2} + a_{3}\delta_{33}b_{3} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{3} \delta_{ii}a_{i}b_{i} = \delta_{ii}a_{i}b_{i} \\ \end{align*} $$
最後の等号はアインシュタイン記法を使用したものである。
アインシュタイン記法を使用して、次の公式が成り立つ。 $$ \begin{align*} \delta_{ii} &= 3 \tag{2.1} \\ \delta_{ij}\delta_{jk} &= \delta_{ik} \tag{2.2} \\ \delta_{ii}\delta_{jj} &= 9 \tag{2.3} \\ \delta_{ii}\delta_{jj} &= 6 (i \ne j)\tag{2.4} \end{align*} $$
2.1. $\delta_{ii} = \sum\delta_{ii}$は単位行列の全ての対角成分の和、つまりトレースである。
$$ \delta_{ii} = \Tr (I) = 1 + 1 + 1 = 3 $$
2.2. 二つの行列$A =[a_{ij}]$, $B = [b_{ij}]$の行列積$AB$の$i$行$k$列成分は次の通りである
$$ [AB]_{ik} = \sum\limits_{j} a_{ij}b_{jk} = a_{ij}b_{jk} $$
したがって、$\delta_{ij}\delta_{jk}$は二つの単位行列の積の$i$行$k$列成分と同じである。二つの単位行列の積は単位行列であるため、これはすなわち単位行列の$i$行$k$列成分、つまり$\delta_{ik}$と同じである。
2.3. 二つの単位行列のトレースを掛けたものであるため、 $$ \delta_{ii}\delta_{jj} = \left( \sum_{i}\delta_{ii} \right) \left( \sum_{j}\delta_{jj} \right) = \Tr(I) \Tr(I) = 3 \times 3 = 9 $$