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行列の累乗形の公式 📂行列代数

行列の累乗形の公式

公式

行列 X=[xij]∈Rn×nX = [x_{ij}] \in \mathbb{R}^{n \times n}に対して次のことが成り立つ。

[XX]ij=∑k=1nxikxkj [XX]_{ij} = \sum_{k=1}^{n} x_{ik} x_{kj}

XX=X2=[∑k=1nx1kxk1⋯∑k=1nx1kxkn⋮⋱⋮∑k=1nxnkxk1⋯∑k=1nxnkxkn] XX = X^{2} = \begin{bmatrix} \sum\limits_{k=1}^{n} x_{1k} x_{k1} & \cdots & \sum\limits_{k=1}^{n} x_{1k} x_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{k=1}^{n} x_{nk} x_{k1} & \cdots & \sum\limits_{k=1}^{n} x_{nk} x_{kn} \end{bmatrix}

XXが対称行列であれば、

X2=[∑k=1n(x1k)2⋯∑k=1nx1kxkn⋮⋱⋮∑k=1nxnkxk1⋯∑k=1n(xnk)2] X^{2} = \begin{bmatrix} \sum\limits_{k=1}^{n} (x_{1k})^{2} & \cdots & \sum\limits_{k=1}^{n} x_{1k} x_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{k=1}^{n} x_{nk} x_{k1} & \cdots & \sum\limits_{k=1}^{n} (x_{nk})^{2} \end{bmatrix}

一般化

次のことが成り立つ。

XXX=X3=[∑k,ℓ=1nx1kxkℓxℓ1⋯∑k,ℓ=1nx1kxkℓxℓn⋮⋱⋮∑k,ℓ=1nxnkxkℓxℓ1⋯∑k,ℓ=1nxnkxkℓxℓn] XXX = X^{3} = \begin{bmatrix} \sum\limits_{k,\ell=1}^{n}x_{1k}x_{k\ell}x_{\ell 1} & \cdots & \sum\limits_{k,\ell=1}^{n}x_{1k}x_{k\ell}x_{\ell n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{k,\ell=1}^{n}x_{nk}x_{k\ell}x_{\ell 1} & \cdots & \sum\limits_{k,\ell=1}^{n}x_{nk}x_{k\ell}x_{\ell n} \end{bmatrix}

集合 K={k1,k2,…,k∣K∣}K = \left\{ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{|K|} \right\}に対して次のことが成り立つ。

X∣K∣=[∑Kx1k1xk1k2⋯xk∣K∣1⋯∑Kx1k1xk1k2⋯xk∣K∣n⋮⋱⋮∑Kxnk1xk1k2⋯xk∣K∣1⋯∑Kxnk1xk1k2⋯xk∣K∣n] X^{|K|} = \begin{bmatrix} \sum\limits_{K} x_{1k_{1}}x_{k_{1}k_{2}}\cdots x_{k_{|K|}1} & \cdots & \sum\limits_{K} x_{1k_{1}}x_{k_{1}k_{2}}\cdots x_{k_{|K|}n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{K} x_{nk_{1}}x_{k_{1}k_{2}}\cdots x_{k_{|K|}1} & \cdots & \sum\limits_{K} x_{nk_{1}}x_{k_{1}k_{2}}\cdots x_{k_{|K|}n} \end{bmatrix}

説明

該当する公式は、単一の行列の累乗の場合だけでなく、複数行列の積の形でも全て成り立つ。また、転置が含まれる場合は、該当行列のインデックスの順序を逆にすればよい。例えば n×nn \times n行列 A,B,CA, B, Cに対して、

[AB]ij=[∑kaikbkj][ABT]ij=[∑kaikbjk][ABC]ij=[∑k,saikbkscsj][ABTC]ij=[∑k,saikbskcsj] \begin{align*} [AB]_{ij} &= \left[ \sum_{k} a_{ik}b_{kj}\right] \\[1em] [AB^{\mathsf{T}}]_{ij} &= \left[ \sum_{k} a_{ik}b_{jk}\right] \\[1em] [ABC]_{ij} &= \left[ \sum_{k,s} a_{ik}b_{ks}c_{sj}\right] \\[1em] [AB^{\mathsf{T}}C]_{ij} &= \left[ \sum_{k,s} a_{ik}b_{sk}c_{sj}\right] \end{align*}

証明

簡単な計算で得られる。累乗の場合についても同様の方法で確かめることができる。

XX=[x11x12⋯x1nx21x22⋯x2n⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnn][x11x12⋯x1nx21x22⋯x2n⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnn] XX = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{bmatrix}

  ⟹  [XX]11=x11x11+x12x21+⋯+x1nxn1=∑kx1kxk1[XX]12=x11x12+x12x22+⋯+x1nxn2=∑kx1kxk2⋮[XX]nn=xn1x1n+xn2x2n+⋯+xnnxnn=∑kxnkxkn \implies \begin{align*} [XX]_{11} &= x_{11} x_{11} + x_{12} x_{21} + \cdots + x_{1n} x_{n1} = \sum\limits_{k} x_{1k} x_{k1} \\ [XX]_{12} &= x_{11} x_{12} + x_{12} x_{22} + \cdots + x_{1n} x_{n2} = \sum\limits_{k} x_{1k} x_{k2} \\ & \vdots \\ [XX]_{nn} &= x_{n1} x_{1n} + x_{n2} x_{2n} + \cdots + x_{nn} x_{nn} = \sum\limits_{k} x_{nk} x_{kn} \end{align*}

  ⟹  XX=[∑kx1kxk1⋯∑kx1kxkn⋮⋱⋮∑kxnkxk1⋯∑kxnkxkn] \implies XX = \begin{bmatrix} \sum\limits_{k} x_{1k} x_{k1} & \cdots & \sum\limits_{k} x_{1k} x_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{k} x_{nk} x_{k1} & \cdots & \sum\limits_{k} x_{nk} x_{kn} \end{bmatrix}

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