📂確率分布論

ベルヌーイ分布の母関数

公式

$X \sim$ $\operatorname{Bin}(1, p)$であるとき、$X$の積率母関数は以下のようになる。

$$m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}, \qquad q = 1 - p$$

証明

$p \in [0, 1]$に対して、次のような確率質量関数を持つ離散確率分布をベルヌーイ分布^{Bernoulli distribution}と呼ぶ。

$$f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1$$

積率母関数の定義から

積率母関数の定義によって、

$$\begin{align*} E(e^{tX}) &= \sum\limits_{x = 0, 1} e^{tx} f(x) \\ &= \sum\limits_{x = 0, 1} e^{tx} (1 - p)^{1-x} p^{x} \\ &= (1 - p) e^{t \cdot 0} p^{0} + p e^{t \cdot 1} (1 - p)^{1-1} \\ &= 1 - p + pe^{t} \end{align*}$$

■

二項分布から

ベルヌーイ分布は二項分布 $\operatorname{Bin}(n, p)$で $n = 1$の場合の特別なケースである。二項分布の積率母関数は以下の通りである。

$$m(t)= [1 - p + pe^{t}]^{n}$$

したがってベルヌーイ分布の積率母関数は以下のようになる。

$$m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}$$

■