📂確率分布論

ベルヌーイ分布

定義¹

$p \in [0, 1]$に対して、次のような確率質量関数を持つ離散確率分布をベルヌーイ分布^{Bernoulli distribution}と呼ぶ。

$$ f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1 $$

説明

コイン投げのように、可能な結果が二つである行為を一度試行する場合を描写する時に使用する。可能な結果が二つであるため、通常$x = 1$を成功、$x = 0$を失敗とする。そして$p$を成功確率、$q = 1 - p$を失敗確率という。このように、可能な結果が二つである実験を一度実施することをベルヌーイ試行^{Bernoulli trial}と呼ぶ。

試行回数を$n$回に一般化すると二項分布となり、逆にベルヌーイ分布は二項分布で$n = 1$である特別な場合である$\operatorname{Bin}(1, p)$と見ることができる。

可能な結果（カテゴリ）を二つから$k$つに一般化したものはカテゴリ分布であり、試行回数とカテゴリをすべて一般化したのが多項分布である。

カテゴリ 試行回数	$1$回	$n$回
$2$個	ベルヌーイ分布	二項分布
$k$個	カテゴリ分布	多項分布

基本性質

モーメント母関数

ベルヌーイ分布のモーメント母関数は次の通りである。

$$ m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}, \qquad q = 1 - p $$

平均と分散

$X \sim \operatorname{Bin}(1, p)$である場合、

$$ E(X) = p $$ $$ \Var(X) = p(1-p) = pq, \qquad q = 1 - p $$