ラプラス分布の最尤推定量
定理
ラプラス分布に従うランダムサンプル $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b)$が与えられているとする。
$(\mu, b)$に対する最尤推定量 $(\hat{\mu}, \hat{b})$は次の通り。
$$ \hat{\mu} = \text{median}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{n}) $$
$$ \hat{b} = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$
証明
ラプラス分布:
$\mu \in \mathbb{R}$と $b > 0$に対して、次のような確率密度関数を持つ連続確率分布 $\operatorname{Laplace}(\mu, b)$をラプラス分布Laplace distributionと呼ぶ。
$$ f(x) = \dfrac{1}{2b} \exp \left( -\dfrac{|x - \mu|}{b} \right) $$
ログ尤度を求めると次の通りになる。
$$ \begin{align*} \log L(\mu, b ; \mathbf{x}) &= \log f(\mathbf{x}; \mu, b) = \log \prod\limits_{k=1}^{n} f(x_{k}; \mu, b) \\ &= \sum\limits_{k=1}^{n} \log f(x_{k}; \mu, b) \\ &= \sum\limits_{k=1}^{n} \log \left( \dfrac{1}{2b} \exp \left( -\dfrac{|x_{k} - \mu|}{b} \right) \right) \\ &= -n \log 2b - \dfrac{1}{b} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \end{align*} $$
したがって、 $\argmax\limits_{\mu} \log L(\mu, b; \mathbf{x})$を求めると、
$$ \begin{align*} \argmax_{\mu} \left( -n \log 2b - \dfrac{1}{b} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \right) &= \argmax_{\mu} \left( -\sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \right) \\ &= \argmin_{\mu} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \right) \\ \end{align*} $$
絶対値を最小化するのは中央値なので、
$$ \hat{\mu} = \text{median}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{n}) $$
また、$\argmax\limits_{b} \log L(\mu, b; \mathbf{x})$は次を満たす $b$である。
$$ \dfrac{\partial}{\partial b} \log L(\mu, b; \mathbf{x}) = 0 $$
$$ \implies -n\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b^{2}} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| = 0 $$
$$ \implies b = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$
$$ \implies \hat{b} = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$
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