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ラプラス分布のモーメント母関数 📂確率分布論

ラプラス分布のモーメント母関数

公式

XX \sim Laplace(μ,b)\operatorname{Laplace}(\mu, b)のとき、XXモーメント母関数は以下のようになる。

m(t)=11b2t2eμtfor t<1b m(t) = \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \qquad \text{for } |t| < \dfrac{1}{b}

証明

モーメント母関数の定義により、

E(etX)=etxf(x)dx=etx12bexμ/bdx=a2eμtetyeaydx(yxμ,a1/b)=a2eμt(0e(t+a)ydx+0e(ta)ydx)=a2eμt([1t+ae(t+a)y]0+[1tae(ta)y]0) \begin{align*} E(e^{tX}) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \dfrac{1}{2b} e^{-|x - \mu|/b} dx \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{ty} e^{-a|y|} dx \qquad (y \equiv x - \mu, \quad a \equiv 1/b) \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \int\limits_{-\infty}^{0} e^{(t+a)y} dx + \int\limits_{0}^{\infty} e^{(t-a)y} dx \right) \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \left[ \dfrac{1}{t+a}e^{(t+a)y} \right]_{-\infty}^{0} + \left[ \dfrac{1}{t-a}e^{(t-a)y} \right]_{0}^{\infty} \right) \\ \end{align*}

ここで、最初の定積分はt+a<0t + a \lt 0のとき収束し、2番目の定積分はta>0t - a \gt 0のとき収束する。したがって、t<a|t| < aのとき積分可能である。

E(etX)=a2eμt([1t+ae(t+a)y]0+[1tae(ta)y]0)=a2eμt(1t+a1ta)for t<a=a2eμt2at2a2for t<a=a2a2t2eμtfor t<a=1b211/b2t2eμtfor t<1b=11b2t2eμtfor t<1b \begin{align*} E(e^{tX}) &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \left[ \dfrac{1}{t+a}e^{(t+a)y} \right]_{-\infty}^{0} + \left[ \dfrac{1}{t-a}e^{(t-a)y} \right]_{0}^{\infty} \right) \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \dfrac{1}{t+a} - \dfrac{1}{t-a} \right) & \text{for } |t| < a \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \dfrac{-2a}{t^{2} - a^{2}} & \text{for } |t| < a \\ &= \dfrac{a^{2}}{a^{2} - t^{2}}e^{\mu t} & \text{for } |t| < a \\ &= \dfrac{1}{b^{2}}\dfrac{1}{1/b^{2} - t^{2}}e^{\mu t} & \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} \\ &= \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}}e^{\mu t} & \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} \\ \end{align*}