ラプラス分布のモーメント母関数
📂確率分布論ラプラス分布のモーメント母関数
公式
X∼ Laplace(μ,b)のとき、Xのモーメント母関数は以下のようになる。
m(t)=1−b2t21eμtfor ∣t∣<b1
証明
モーメント母関数の定義により、
E(etX)=−∞∫∞etxf(x)dx=−∞∫∞etx2b1e−∣x−μ∣/bdx=2aeμt−∞∫∞etye−a∣y∣dx(y≡x−μ,a≡1/b)=2aeμt−∞∫0e(t+a)ydx+0∫∞e(t−a)ydx=2aeμt([t+a1e(t+a)y]−∞0+[t−a1e(t−a)y]0∞)
ここで、最初の定積分はt+a<0のとき収束し、2番目の定積分はt−a>0のとき収束する。したがって、∣t∣<aのとき積分可能である。
E(etX)=2aeμt([t+a1e(t+a)y]−∞0+[t−a1e(t−a)y]0∞)=2aeμt(t+a1−t−a1)=2aeμtt2−a2−2a=a2−t2a2eμt=b211/b2−t21eμt=1−b2t21eμtfor ∣t∣<afor ∣t∣<afor ∣t∣<afor ∣t∣<b1for ∣t∣<b1
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