📂関数

ラゲール多項式

定義

ラゲール多項式^{Laguerre polynomial}は次のような方法で定義される。

微分方程式の解として

次のようなラゲール微分方程式の解をラゲール多項式と呼ぶ。

$$xy^{\prime \prime} + (1-x)y^{\prime} + ny = 0, \quad n=0,1,2,\cdots$$

ロドリゲス公式

次のような関数 $L_{n}$をラゲール多項式と呼ぶ。

$$L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) \tag{1}$$

上の公式をロドリゲス公式と呼ぶ。

説明

定義によって、$L_{n}$は多項「関数」が正しいが、慣習的にラゲール「多項式」と呼ぶ。韓国語だけではなく、英語でも polynimial function ではなく Laguerre polynomial と呼ばれる。

$(1)$によって、$L_{n}$は$n$次の多項式であることが分かる。最初のいくつかのラゲール多項式は次の通り。

$$\begin{align*} L_{0}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &= \frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ \vdots & \end{align*}$$

ラゲール多項式の根は数値解析で不定積分を計算するためのノードとして使用される。

• 数値解析でのラゲール多項式