📂バナッハ空間

프레드홀 적분 방정식

定義¹

次の積分方程式を第一種フレドホルム積分方程式^{Fredholm Integral Equation of the first kind}と呼ぶ。

$$g(s) = \int K(s, t) f(t) dt \tag{1}$$

この時、$K$を核^kernelと呼ぶ。次の形を第二種フレドホルム積分方程式と呼ぶ。

$$g(s) = f(s) + \int K(s, t) f(t) dt \tag{2}$$

説明

積分方程式$(1), (2)$を解くということは、通常与えられた$g$と$K$に対して$(1), (2)$を満たす$f$を見つけることを意味する。これはすでに計算された結果$g$が与えられたとき、原因$f$を見つける逆問題である。与えられた関数によっては積分自体も難しい場合が多く、それを逆に解くことが難しいのは言うまでもない。定積分値$3$が与えられた場合、次を満たす$f$が無数に存在することは簡単に分かる。

$$3 = \int_{0}^{1} f(x) dx$$

適切な制約条件が与えられるとか、複数の領域に対する積分値が与えられなければ、正確な$f$を見つけることはできない。