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複数の多項式のロドリゲスの公式

説明

ロドリゲスの公式^{Rodrigues’ formula}は元々、ルジャンドル多項式の明示的な形を表すために使われた言葉だったが、その後、多項式で表される特殊関数の明示的な形を表す公式の一般的な名称になった。

公式

• ルジャンドル多項式：

  $$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} $$

• ラゲール多項式：

  $$ L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) $$

• エルミート多項式：

  $$ H_{n} = (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2} $$