📂距離空間

距離空間における一様連続

定義¹

二つの距離空間$(X, d_{X})$、$(Y, d_{Y})$と関数列$\left\{ f_{n} : X \to Y \right\}$が与えられたとしよう。全ての$\varepsilon \gt$に対して、次を満たす$\delta (\varepsilon) \gt 0$が存在するならば、数列$\left\{ f_{n} \right\}$を等連続^{equicontinuous}という。

$$ \forall x_{1}, x_{2} \in X \text{ and } f_{n}\quad d_{X}(x_{1}, x_{2}) \lt \delta (\varepsilon) \implies d_{Y} \big( f_{n}(x_{1}), f_{n}(x_{2}) \big) \lt \varepsilon $$

説明

簡単に言えば、等連続の$\left\{ f_{n} \right\}$は$X$における一様連続の関数の中で、同じ$\varepsilon$と$\delta (\varepsilon)$に対して連続性が成立する関数を集めた数列である。

アスコリの定理^{Ascoli’s theorem}

有界等連続関数列$\left\{ f_{n} \right\}$は収束する部分数列を持つ。