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距離空間における一様連続 📂距離空間

距離空間における一様連続

定義1

二つの距離空間(X,dX)(X, d_{X})(Y,dY)(Y, d_{Y})と関数列{fn:XY}\left\{ f_{n} : X \to Y \right\}が与えられたとしよう。全てのε>\varepsilon \gtに対して、次を満たすδ(ε)>0\delta (\varepsilon) \gt 0が存在するならば、数列{fn}\left\{ f_{n} \right\}等連続equicontinuousという。

x1,x2X and fndX(x1,x2)<δ(ε)    dY(fn(x1),fn(x2))<ε \forall x_{1}, x_{2} \in X \text{ and } f_{n}\quad d_{X}(x_{1}, x_{2}) \lt \delta (\varepsilon) \implies d_{Y} \big( f_{n}(x_{1}), f_{n}(x_{2}) \big) \lt \varepsilon

説明

簡単に言えば、等連続の{fn}\left\{ f_{n} \right\}XXにおける一様連続の関数の中で、同じε\varepsilonδ(ε)\delta (\varepsilon)に対して連続性が成立する関数を集めた数列である。

アスコリの定理Ascoli’s theorem

有界等連続関数列{fn}\left\{ f_{n} \right\}は収束する部分数列を持つ。


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p454 ↩︎