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コンパクト積分作用素 📂バナッハ空間

コンパクト積分作用素

定理1

与えられたコンパクト区間J=[a,b]J = [a, b]に対して、KKがJ×JJ \times J上で連続な関数であるとする。X=C[a,b]X = C[a, b]を連続関数空間とする。すると、カーネルKKを持つ積分作用素T:X→XT : X \to Xはコンパクト線形作用素である。

(Tx)(s)=∫abK(s,t)x(t)dt,∀x∈X (Tx)(s) = \int\limits_{a}^{b} K(s, t) x(t) dt,\qquad \forall x \in X

証明

積分作用素は線形であり、有界であるので、コンパクトであることを示せばよい。

コンパクト作用素

線形作用素T:X→YT : X \to Yについて、すべての有界部分集合M⊂XM \subset Xに対して、T(M)‾\overline{T(M)}がコンパクトであるならばTTをコンパクト作用素という。

連続関数空間のノルム

連続関数空間C[a,b]C[a, b]のノルムnormを次のように定義する。

∥x∥:=max⁡t∈[a,b]∣x(t)∣,x∈C[a,b] \left\| x \right\| := \max\limits_{t \in [a, b]} \left| x(t) \right|,\qquad x \in C[a, b]

XXの数列{xn}\left\{ x_{n} \right\}が有界であるとする。つまり、すべてのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して、∥xn∥≤c\left\| x_{n} \right\| \le cを満たすccが存在する。yn=Txny_{n} = Tx_{n}とする。するとTTは有界であるので、

∥yn∥=∥Txn∥≤∥T∥∥xn∥ \left\| y_{n} \right\| = \left\| Tx_{n} \right\| \le \left\| T \right\| \left\| x_{n} \right\|

よって、{yn}\left\{ y_{n} \right\}も有界である。今、{yn}\left\{ y_{n} \right\}が同程度連続であることを示す。カーネルKKは連続であり、J×JJ \times Jはコンパクトであるので、KKは一様連続である。したがって、任意の与えられたε>0\varepsilon \gt 0に対して、次を満たすδ>0\delta \gt 0が存在する。

∀s1,s2∈J and t∈J∣s1−s2∣<δ  ⟹  ∣K(s1,t)−K(s2,t)∣<ε(b−a)c \forall s_{1}, s_{2} \in J \text{ and } t \in J \qquad \left| s_{1} - s_{2} \right| \lt \delta \implies \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \lt \frac{\varepsilon}{(b-a)c}

したがって、s1,s2s_{1}, s_{2}とすべてのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して、次が成り立つ。

∣yn(s1)−yn(s2)∣=∣∫abK(s1,t)xn(t)dt−∫abK(s2,t)xn(t)dt∣=∣∫ab[K(s1,t)−K(s2,t)]xn(t)dt∣≤∫ab∣K(s1,t)−K(s2,t)∣∣xn(t)∣dt≤∫abε(b−a)c⋅cdt=ε \begin{align*} \left| y_{n}(s_{1}) - y_{n}(s_{2}) \right| &= \left| \int\limits_{a}^{b} K(s_{1}, t)x_{n}(t) dt - \int\limits_{a}^{b} K(s_{2}, t)x_{n}(t) dt \right| \\ &= \left| \int\limits_{a}^{b} \left[ K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right] x_{n}(t) dt \right| \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \left| x_{n}(t) \right| dt \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \frac{\varepsilon}{(b-a)c} \cdot c dt \\ &= \varepsilon \end{align*}

したがって、{yn}\left\{ y_{n} \right\}は同程度連続である。有界な同程度連続な関数列は収束する部分列を持つので、{yn}\left\{ y_{n} \right\}は収束する部分列を持つ。

補助定理

XXとYYをノルム空間とする。T:X→YT : X \to Yを線形作用素とする。すると、以下の二つの命題は等価である。

  1. TTはコンパクト作用素である。
  2. TTが「XXのすべての有界列」を「収束する部分列を持つYYの列」にマッピングする。

したがって、任意の有界列{xn}\left\{ x_{n} \right\}がTTによって収束する部分列を持つ列{yn}\left\{ y_{n} \right\}にマッピングされるので、TTはコンパクト作用素である。

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  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p454-455 ↩︎