📂バナッハ空間

コンパクト積分作用素

定理¹

与えられたコンパクト区間$J = [a, b]$に対して、$K$が$J \times J$上で連続な関数であるとする。$X = C[a, b]$を連続関数空間とする。すると、カーネル$K$を持つ積分作用素$T : X \to X$はコンパクト線形作用素である。

$$ (Tx)(s) = \int\limits_{a}^{b} K(s, t) x(t) dt,\qquad \forall x \in X $$

証明

積分作用素は線形であり、有界であるので、コンパクトであることを示せばよい。

コンパクト作用素

線形作用素$T : X \to Y$について、すべての有界部分集合$M \subset X$に対して、$\overline{T(M)}$がコンパクトであるならば$T$をコンパクト作用素という。

連続関数空間のノルム

連続関数空間$C[a, b]$のノルム^normを次のように定義する。

$$ \left\| x \right\| := \max\limits_{t \in [a, b]} \left| x(t) \right|,\qquad x \in C[a, b] $$

$X$の数列$\left\{ x_{n} \right\}$が有界であるとする。つまり、すべての$n \in \mathbb{N}$に対して、$\left\| x_{n} \right\| \le c$を満たす$c$が存在する。$y_{n} = Tx_{n}$とする。すると$T$は有界であるので、

$$ \left\| y_{n} \right\| = \left\| Tx_{n} \right\| \le \left\| T \right\| \left\| x_{n} \right\| $$

よって、$\left\{ y_{n} \right\}$も有界である。今、$\left\{ y_{n} \right\}$が同程度連続であることを示す。カーネル$K$は連続であり、$J \times J$はコンパクトであるので、$K$は一様連続である。したがって、任意の与えられた$\varepsilon \gt 0$に対して、次を満たす$\delta \gt 0$が存在する。

$$ \forall s_{1}, s_{2} \in J \text{ and } t \in J \qquad \left| s_{1} - s_{2} \right| \lt \delta \implies \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \lt \frac{\varepsilon}{(b-a)c} $$

したがって、$s_{1}, s_{2}$とすべての$n \in \mathbb{N}$に対して、次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \left| y_{n}(s_{1}) - y_{n}(s_{2}) \right| &= \left| \int\limits_{a}^{b} K(s_{1}, t)x_{n}(t) dt - \int\limits_{a}^{b} K(s_{2}, t)x_{n}(t) dt \right| \\ &= \left| \int\limits_{a}^{b} \left[ K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right] x_{n}(t) dt \right| \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \left| K(s_{1}, t) - K(s_{2}, t) \right| \left| x_{n}(t) \right| dt \\ &\le \int\limits_{a}^{b} \frac{\varepsilon}{(b-a)c} \cdot c dt \\ &= \varepsilon \end{align*} $$

したがって、$\left\{ y_{n} \right\}$は同程度連続である。有界な同程度連続な関数列は収束する部分列を持つので、$\left\{ y_{n} \right\}$は収束する部分列を持つ。

補助定理

$X$と$Y$をノルム空間とする。$T : X \to Y$を線形作用素とする。すると、以下の二つの命題は等価である。

1. $T$はコンパクト作用素である。
2. $T$が「$X$のすべての有界列」を「収束する部分列を持つ$Y$の列」にマッピングする。

したがって、任意の有界列$\left\{ x_{n} \right\}$が$T$によって収束する部分列を持つ列$\left\{ y_{n} \right\}$にマッピングされるので、$T$はコンパクト作用素である。

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