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距離空間において、コンパクトであれば閉じており有界である 📂距離空間

距離空間において、コンパクトであれば閉じており有界である

概要

距離空間 (X,d)(X, d)コンパクト部分集合 KKは、有界であり、閉集合である。

説明

逆は一般に成り立たない。ユークリッド空間では、逆が成り立つ

証明

有界性1

背理法で証明する。KKが有界でないと仮定してみる。距離空間でコンパクトであることは、数列コンパクトであることと同等であるためKKは数列コンパクトである。

数列コンパクト

距離空間 XX数列コンパクトsequentially compactであるとは、XX内のすべての数列 {xn}\left\{ x_{n} \right\}が、XXの点に収束する部分数列 {xnk}\left\{ x_{n_{k}} \right\}を持つということを意味する。

KKが有界でないので、固定されたbXb \in Xに対して、d(yn,b)>nd(y_{n}, b) \gt nを満たす有界でない数列{ynM}\left\{ y_{n} \in M \right\}が存在する。KKが数列コンパクトであるため、この数列は収束する部分数列を持っており、この部分数列も {yn}\left\{ y_{n} \right\}の性質により同様に有界ではない。しかし、距離空間で収束する数列は有界であるため、これは矛盾である。したがって、仮定は誤っており、KKは有界である。

閉じられている2

KKを距離空間XXのコンパクト部分集合とする。KcK^{c}が開いていることを示せば、開集合の補集合は閉集合であるためKKは閉集合である。KcK^{c}のすべての点が内点であることを示せばよい。これからpKcp \in K^{c}を考えてみよう。そして、qKq\in Kに対して、それぞれVqV_{q}WqW_{q}12d(p,q){\textstyle \frac{1}{2}}d(p,q)より小さい半径を持つppqqの近傍としよう。VVppの近傍だが、固定されたpKcp\in K^{c}に対して特定のqKq\in Kが与えられるたびに、qqとの距離によって定まるppの半径であるため、索引としてqqを使用する。テキストがよく理解できない場合は、以下の図を参照。

5F3CC9892.png

これから{Wq}qK\left\{ W_{q} \right\}_{q\in K}を考えてみよう。これはKK開被覆になる。仮定により、KKがコンパクトであるため、下記の式を満たす何らかのq1,,qnq_{1},\cdots,q_{n}が存在する。

KWq1Wqn=W K \subset W_{q_{1}}\cup \cdots \cup W_{q_{n}}=W

そして、それをV=Vq1VqnV=V_{q_{1}}\cap \cdots \cap V_{q_{n}}としよう。すると、VVは依然としてppの近傍である。また、最初にVqV_{q}WqW_{q}を適切に選んだため、VW=V\cap W=\varnothingが成り立つことがわかる。したがって、WWKKの開被覆であるため、以下が真である。

VKc V \subset K^{c}

すべてのpKcp\in K^{c}が常にKcK^{c}に含まれる近傍を持っているため、すべてのpKcp \in K^{c}KcK^{c}の内点である。したがって、KcK^{c}は開集合であり、KKは閉集合である。


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p77 ↩︎

  2. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p37 ↩︎