📂位相幾何学

位相空間における数列のコンパクト性とは？

定義¹

位相空間 $X$が 数列コンパクト^{sequentially compact}とは、$X$の全ての数列 $\left\{ x_{n} \right\}$が $X$の点に収束する部分数列 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}$を持つことを言う。

説明

一般に位相空間では、コンパクトと数列コンパクトは無関係である。例えば、コンパクトだけど数列コンパクトではない空間もあれば、数列コンパクトだけどコンパクトではない空間もある。

距離空間では、コンパクトは同値である。

定理

数列コンパクトならば、可算コンパクトである。