📂バナッハ空間

ノルム空間の部分集合が有界集合であるための必要十分条件

定義

直径

ノルム空間 $(X, \left\| \cdot \right\|)$が与えられたとする。非空集合 $M \subset X$の直径^diameter $\diam M$は、以下のように定義される。 $$\diam M =: \sup\limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\|$$

有界

$\diam M \lt \infty$を満たす場合、$M$を有界^boundedという。

説明

ノルム空間では、メトリックを$d (x, y) =: \left\| x - y \right\|$として自然に導出できるので、上の定義は距離空間で言うならば、以下のようになる。

$$\diam M =: \sup\limits_{x, y \in M} d(x, y)$$

下の定理から、ノルム空間の部分集合が有界であるということは、要素のノルムの集合が有界であることと同じであることが分かる。

定理

ノルム空間$X$の部分集合$M \subset X$が有界であるための必要十分条件は②正数$c \gt 0$が存在し、全ての$x \in M$に対して$\left\| x \right\| \le c$が成立することである。

証明

$\text{\textcircled 1} \Longrightarrow \text{\textcircled 2}$

$M \subset X$が有界であると仮定しよう。つまり、ある$C > 0$に対して、以下が成立する。

$$\sup\limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| \lt C \tag{1}$$

固定された$y \in M$に対して、$c$を$c = C + \left\| y\right\|$としよう。すると、全ての$x \in M$に対して、以下が成立する。

$$\begin{align*} \left\| x \right\| &= \left\| x - y + y \right\| \\ &\le \left\| x - y \right\| + \left \| y \right\| & \text{by triangle inequality} \\ &\lt C + \left\| y \right\| & \text{by } (1) \\ &= c \end{align*}$$

$\text{\textcircled 1} \Longleftarrow \text{\textcircled 2}$

正数$c \gt 0$が全ての$x \in M$に対して$\left\| x \right\| \le c$を満たすと仮定しよう。すると、全ての$x, y \in M$に対して$\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \le 2c$が成立する。$\left\| x - y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|$であるから、

$$\sup \limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| \lt \infty$$

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