📂微分積分学

微分積分学におけるロルの定理の証明

定理¹

関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で連続であり、$(a,b)$ で微分可能であり、$f(a)=f(b)$ の場合、$f ' (c)=0$ を満たす $c$ が $(a,b)$ に少なくとも一つ存在する。

説明

高校の授業では、平均値の定理を証明するための補助定理としてだけ紹介され、それ以外では全く使われないが、高校のレベルを超えると、時々補助定理として使われることがある。平均値の定理がより一般的なのは事実だが、$\displaystyle f '(c) = {{f(b) - f(a)} \over {b - a}}$ のような複雑な形を使う必要がない場合は、証明をより簡潔にする。

証明

戦略: $f(x)$ が定数関数の場合とそうでない場合の二つに分けて、フェルマーの定理を適用する。

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• ケース 1. $f(x)$ が定数関数の場合

  $f ' (x)=0$ であるため、$f ' (c)=0$ を満たす $c$ が $(a,b)$ に少なくとも一つ存在する。

• ケース 2. $f(x)$ が定数関数ではない場合

  $f(x)$ は極大または極小を持ち、$(a,b)$ で微分可能なため、極点 $c$ に対して $f ' (c)$ が存在する。

  フェルマーの定理

  関数 $f(x)$ が $x=c$ で極大または極小を持ち、$f ' (c)$ が存在するならば、$f ' (c) = 0$

  極点 $c$ は、フェルマーの定理により、$f ' (c) = 0$ を満たさなければならない。

したがって、$f(x)$ が定数関数であろうとなかろうと、$f ' (c)=0$ を満たす $c$ が $(a,b)$ に少なくとも一つ存在する。

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